1 . 曲线：与曲线：交于、两点，为原点，.
（1）求；
（2）曲线上一点的纵坐标为2，过点作直线、，、的斜率分别为、，，、分别交曲线于异于的不同点，，证明：直线恒过定点.

2 . 已知抛物线，过点且互相垂直的两条动直线、与抛物线分别交于、和、.
（1）求的取值范围；
（2）记线段和的中点分别为、，求证：直线恒过定点.

3 . 已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N.
（1）求四边形面积的取值范围；
（2）记线段和的中点分别为E，F，求证：直线恒过定点.

4 . 已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

5 . 已知抛物线 : 过点的直线交抛物线于两点，设
(1)若点 关于轴的对称点为，求证：直线经过抛物线 的焦点；
(2)若求当最大时，直线的方程．

6 . 已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明：直线过轴上一定点，并求出点的坐标.

7 . 在直角坐标系中，已知抛物线:，抛物线的准线与交于点．
(1)过作曲线的切线，设切点为，，证明：以为直径的圆经过点；
(2)过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、两点，线段，的中点分别为、，试讨论直线是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．

8 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，，判断直线是否过定点？并说明理由.

9 . 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.

10 . 已知抛物线内一定点，过点分别作斜率为，的两条直线、，交抛物线于、和、四点，设、分别为线段和的中点．
(1)当且时，求的面积的最小值；
(2)若（为常数，且），证明：直线过定点，并求出定点坐标．