1 . 已知抛物线的方程为，直线为抛物线的准线，点，且为抛物线上的不同两点，若有与垂直．
(1)求抛物线的方程．
(2)证明：直线过定点．

2 . 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.

3 . 在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点．

4 . 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线，的斜率之积为，求证：直线过定点.

5 . 已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求抛物线的方程及的值；
(2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
(3)若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值.

6 . 已知P(1，2)在抛物线C：y²＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

7 . 已知点在抛物线上，的焦点为，．
(1)求抛物线的方程及；
(2)已知，两点在上，点异于，两点，若直线与的斜率之和为1，证明：直线经过定点．

8 . 在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.

9 . 已知抛物线为上一点且纵坐标为轴于点，且，其中点为拋物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为坐标原点，是抛物线上不同的两点，且满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

10 . 已知的顶点，点B在x轴上移动，，且BC的中点在y轴上．
（1）求C点的轨迹的方程；
（2）已知轨迹上的不同两点M，N与的连线的斜率之和为4，求证：直线MN过定点．