1 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

2 . 已知一定点，及一定直线l：，以动点M为圆心的圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设P在直线l上，直线PA，PB分别与曲线C相切于A，B，N为线段AB的中点．求证：，且直线AB恒过定点．

3 . 抛物线（），斜率为1的直线过抛物线的准线与轴的交点.
（1）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明；
（2）若，过分别作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，两点，且，证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标.

4 . 已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.
（1）求p的值.
（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.

5 . 已知纵坐标分别为的点，是抛物线上的两点，且点，到直线的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于点，，与抛物线的准线交于点，(点为坐标原点)的延长线与准线交于点，且，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

6 . 已知抛物线过点
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点.若为线段的中点，求证：直线恒过定点.

7 . 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

8 . 已知平面上动点P到定点的距离比P到直线的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线恒过点F.

9 . 一个圆经过点，且和直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点．

10 . 已知抛物线 : 过点的直线交抛物线于两点，设
(1)若点 关于轴的对称点为，求证：直线经过抛物线 的焦点；
(2)若求当最大时，直线的方程．