1 . 是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率.

2 . 春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”．
(1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）；
(2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01；
(3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99．

3 . 为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6．

(1)求和；
(2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数：

（ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．

①；

②；

（ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．

4 . 某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）．

5 . 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，
(1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响
（i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望
（ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率

6 . 为弘扬中华优秀传统文化，迎接即将到来的癸卯兔年，某校组织各年级同学参加了“金虎辞旧岁，玉兔迎新春”主题系列趣味比赛活动．活动包含两个环节，分别是“知识竞答”和“陀螺角逐赛”．每个环节中，同学们都以个人身份参赛．

I—知识竞答环节：已知答题系统会从甲和乙两个题库中为选手抽取题目．答题时，系统每次随机选择甲与乙之一，并从中抽取一道题目发放给选手．选手提交答案后，系统自动抽取、发放下一题．只要甲与乙之中有一个题库发放满4题，此时即停止继续抽题，待选手提交完最后一题，答题结束，系统自动统计该选手的正确率与平均作答时长．
II—陀螺角逐赛环节：每位选手在赛中进行一系列角逐，最后根据表现，依据比赛规则获得一个对应的分数．已知高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140．
(1)小明参与知识竞答环节时，已知他已经作答4题，且答题还将继续．记为小明答题结束时总共作答的题目数，求的分布列；
(2)为了解各年级的同学在陀螺角逐赛中的比赛情况，现将总体成绩（单位：分）分为第1层（高一）、第2层（高二）和第3层（高三）并进行分层抽样．设总样本量为，总样本均值为，总样本方差为，各层样本量分别为，各层样本均值分别为，各层样本方差分别为．已知，，，，，，，．
（i）求和的值；
（ii）试推导高三年级成绩样本方差的表达式，并求出其值．