17. 春节将至,又是一年万家灯火的团圆之时.方方正正的小城里,住着
户人家,恰好构成了坐标平面上集合
的所有点.夜里,小城的人家挂上大红灯笼,交相辉映,将小城的夜晚编织成发光的大网.在坐标平面上看,
A中的每个点均独立地以概率
p被点亮,或以
的概率保持暗灭.若
A中两个点的距离为1,则这两个点被称为是相邻的.若
A中的
n个被点亮的点
构成一依次相邻的点列
,则称这
n个点组成的集合
是长度为
n的“相邻灯笼串”.规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”.
(1)给定
A中3个依次相邻的点
,记随机变量
X为集合
包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值,试直接写出随机变量
X的分布列(用
p表示);
(2)若
,证明:存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01;
(3)若
,证明:存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99.