1 . 某学习小组收集了7组样本数据(如下表所示):
他们绘制了散点图并计算样本相关系数,发现与有比较强的线性相关关系.若关于的经验回归方程为,则( )
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
0.5 | 1.2 | 0.8 | 1.5 | 1.7 | 2.3 | 2.5 |
A.与呈正相关关系 |
B. |
C.当时,的预测值为3.3 |
D.去掉样本点后,样本相关系数不变 |
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解题方法
2 . 某有限公司通过技术革新和能力提升,每月售出的产品数量不断增加,下表为该公司今年月份售出的产品数量.
(1)试根据样本相关系数的值判断售出的产品数量(万件)与月份线性相关性强弱(若,则认为变量和变量高度线性相关)(结果保留两位小数);
(2)求关于的线性回归方程,并预测该公司月份售出的产品数量.
参考公式:,,,.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 |
售出的产品数量万件 | 6.1 | 6.3 | 6.7 | 6.9 |
(2)求关于的线性回归方程,并预测该公司月份售出的产品数量.
参考公式:,,,.
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解题方法
3 . 学生的学习除了在课堂上认真听讲,还有一个重要环节就是课后自主学习,人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生,对学生每天花在数学上的课后自主学习时间(分钟)和他们的数学成绩(分)做出了调查,得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习,拿到了该机构的一份数据表格如下(其中部分数据被污染看不清),小李据此做出了散点图如下,并计算得到,,的方差为350,的相关系数().
(1)请根据所给数据求出的线性经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩;
(2)受到小李的鼓励,小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上,小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟,而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持,小张的数学成绩从50分提升到90分,但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑,课后学习时间每天同样增加了40分钟,为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢,为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢?
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解,解答小王的疑惑;
②小李为了解答小王的疑惑,想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此,请在上图中补齐散点图,并给出一个合适的经验回归方程类型(不必求出具体方程,不必说明理由).
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
(1)请根据所给数据求出的线性经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩;
(2)受到小李的鼓励,小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上,小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟,而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持,小张的数学成绩从50分提升到90分,但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑,课后学习时间每天同样增加了40分钟,为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢,为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢?
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解,解答小王的疑惑;
②小李为了解答小王的疑惑,想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此,请在上图中补齐散点图,并给出一个合适的经验回归方程类型(不必求出具体方程,不必说明理由).
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
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名校
解题方法
4 . 受疫情影响,某校实行线上教学,为了监控学生的学习情况,每周进行一次线上测评,连续测评5周,得到均分数据见图.
(1)请你根据数据利用相关系数判定均分与线上教学周数是否具有显著相关关系,若有,求出线性回归方程,若没有,请说明理由;
(2)为了对比研究,该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评,从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表,试依据的独立性检验,分析优秀学生数与线上学习是否有关联?
附:相关系数:
回归系数:
临界值表:
优秀数 | 非优秀数 | 合计 | |
某校 | 46 | 54 | 100 |
联谊校 | 56 | 44 | 100 |
合计 | 102 | 98 | 200 |
(2)为了对比研究,该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评,从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表,试依据的独立性检验,分析优秀学生数与线上学习是否有关联?
附:相关系数:
回归系数:
临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
5 . 某企业拟对手机芯片进行科技升级,根据市场调研,得到科技升级投入(亿元)与科技升级直接收益(亿元)的数据统计如下:
根据表格中的数据,当 时,建立了与的两个回归模型:模型①:;模型②:;当 时,确定与满足的线性回归方程为.
(1)根据下列表格中的数据,比较当 时,模型①、②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型;
(附:刻画回归效果的相关指数)
(2)为鼓励科技创新,当科技升级的投入不少于亿元时,国家给予公司补贴亿元,比较根据市场调研科技升级投入亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小;
(附:用最小二乘法求线性回归方程的系数:)
(3)科技升级后,芯片的效率大幅提高,经实际试验得大致服从正态分布.公司对科技升级团队的奖励方案如下:若芯片的效率不超过,不予奖励;若芯片的效率超过,但不超过,每部芯片奖励元;若芯片的效率超过,每部芯片奖励元,记为每部芯片获得的奖励额,求(精确到).
(附:若随机变量,,.)
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |
13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 62 | 63 | 65 |
(1)根据下列表格中的数据,比较当 时,模型①、②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型;
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
(2)为鼓励科技创新,当科技升级的投入不少于亿元时,国家给予公司补贴亿元,比较根据市场调研科技升级投入亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小;
(附:用最小二乘法求线性回归方程的系数:)
(3)科技升级后,芯片的效率大幅提高,经实际试验得大致服从正态分布.公司对科技升级团队的奖励方案如下:若芯片的效率不超过,不予奖励;若芯片的效率超过,但不超过,每部芯片奖励元;若芯片的效率超过,每部芯片奖励元,记为每部芯片获得的奖励额,求(精确到).
(附:若随机变量,,.)
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名校
6 . 某软件科技公司近8年的年利润y与投入的年研发经费x(单位:千万元)如下表所示.
(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系,且相关系数,请用最小二乘法求出线性回归方程(,用分数表示);
(2)某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差,其中c为单个零件的加工成本(单位:元),且.引进该公司最新研发的某工业软件后,加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差.若保持零件加工质量不变(即误差的概率分布不变),则单个零件加工的成本下降了多少元?
附:(1)参考数据:,.
(2)参考公式:,,.
(3)若随机变量服从正态分布,则,.
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y |
(2)某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差,其中c为单个零件的加工成本(单位:元),且.引进该公司最新研发的某工业软件后,加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差.若保持零件加工质量不变(即误差的概率分布不变),则单个零件加工的成本下降了多少元?
附:(1)参考数据:,.
(2)参考公式:,,.
(3)若随机变量服从正态分布,则,.
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2023-07-07更新
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213次组卷
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2卷引用:福建省漳州市第三中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题
名校
解题方法
7 . 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量(单位:)和年利润(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中.
(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润与的关系为.根据(2)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ⅱ)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润与的关系为.根据(2)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ⅱ)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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2023-06-26更新
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1013次组卷
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13卷引用:福建省石狮市永宁中学(厦外石分永宁校区)2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
福建省石狮市永宁中学(厦外石分永宁校区)2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题山东省泰安市宁阳县第四中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题(已下线)模块三 专题8 成对数据的统计分析--拔高能力练(人教A版)(已下线)模块三 专题6 统计案例--拔高能力练(北师大2019版 高二)黑龙江省大庆市萨尔图区第二十三中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)拓展一:近八年统计案例高考真题分类汇编 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列(人教A版2019选修第三册)(已下线)第三节 成对数据的统计分析(第一课时)一轮复习点点通河南省济源市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题河南省焦作市第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题江西省南昌市第十九中学2023届高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷江西省南昌市第十九中学2023届高三下学期第四次模拟考试文科数学试卷(已下线)模块三 专题1 大题分类练(线性回归)(北师大高二)
名校
8 . 研究表明,如果温差本大,人们不注意保暖,可能会导致自身受到风寒刺激,增加感冒患病概率,特别是对于几童以及年老体弱的人群,要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系,他们记录了某六天的温差,并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数,得到数据如下:
参考数据:,
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生,从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位,其中男生人数记为X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数,请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程,据此估计昼夜温差为15时,该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据: ,
日期 | 第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 | 第五天 | 第六天 |
昼夜温差x() | 4 | 7 | 8 | 9 | 14 | 12 |
新增感就诊人数y(位) |
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生,从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位,其中男生人数记为X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数,请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程,据此估计昼夜温差为15时,该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据: ,
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2023-06-26更新
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682次组卷
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6卷引用:福建省厦门市湖里区双十中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
福建省厦门市湖里区双十中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题广东省韶关市2023届高三下学期4月综合测试(二)数学试题(已下线)模块三 专题8 成对数据的统计分析--基础夯实练)(人教A版)(已下线)模块三 专题6 统计案例--基础夯实练(北师大2019版 高二)(已下线)模块三 专题7 统计--(基础夯实练)(苏教版)(已下线)重难专攻(十三) 概率与统计的综合问题(核心考点集训)
名校
解题方法
9 . 从2015-2022年某地区区域发展总指数与年份的关系如下图所示.
若年份(2015年记为年记为,以此类推)与发展总指数存在线性关系.
(1)求年份与发展总指数的经验回归方程;
(2)根据(1)中的经验回归方程计算的各年发展总指数值(预测值)与实际发展总指数值(观测值)差的绝对值,并记为,称为和谐度.若,则称该年为和谐发展年.经计算得2019、2020、2021这三年的和谐度分别为0.575、1.675、1.475.
①请计算2022年的和谐度;
②若从2019~2022这四年中任选两年,记事件:两年中至少有一年为和谐发展年,求事件发生的概率.
参考公式:回归方程,其中,,,,.
若年份(2015年记为年记为,以此类推)与发展总指数存在线性关系.
(1)求年份与发展总指数的经验回归方程;
(2)根据(1)中的经验回归方程计算的各年发展总指数值(预测值)与实际发展总指数值(观测值)差的绝对值,并记为,称为和谐度.若,则称该年为和谐发展年.经计算得2019、2020、2021这三年的和谐度分别为0.575、1.675、1.475.
①请计算2022年的和谐度;
②若从2019~2022这四年中任选两年,记事件:两年中至少有一年为和谐发展年,求事件发生的概率.
参考公式:回归方程,其中,,,,.
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10 . 疫情期间,某校使用一家公司的三种软件来上网课,分别为在线课堂、视频会议、在线直播.根据效果,首选在线课堂,当在线课堂进不去时选视频会议,当在线课堂和视频会议均进不去后再选在线直播.当该校不是该软件的会员时,老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率分别为,,;当该校充值为会员时,老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率均为,设在线课堂、视频会议、在线直播的网课效果得分分别为5分,3分,2分.
(1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如表所示:已知与具有线性相关关系,求关于的经验回归方程;(t的系数精确到0.01)
(2)请你计算后判断学校充值为会员后,网课效果得分的数学期望是否有提高.
(参考公式:在线性回归方程中,,)
(1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如表所示:已知与具有线性相关关系,求关于的经验回归方程;(t的系数精确到0.01)
第t天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 9 | 16 | 9 | 16 | 49 | 36 | 64 |
(参考公式:在线性回归方程中,,)
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