解题方法
1 . 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（
分钟）和他们的数学成绩（
分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到
，
，
的方差为350，
的相关系数
（
）.
(1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）. (1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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名校
解题方法
2 . 受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图.
(1)请你根据数据利用相关系数判定均分与线上教学周数是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；
(2)为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据
的独立性检验，分析优秀学生数与线上学习是否有关联？
附：相关系数：
回归系数：
临界值表：
| 优秀数 | 非优秀数 | 合计 | |
| 某校 | 46 | 54 | 100 |
| 联谊校 | 56 | 44 | 100 |
| 合计 | 102 | 98 | 200 |
与线上教学周数是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；(2)为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据
的独立性检验，分析优秀学生数与线上学习是否有关联？附：相关系数：
回归系数：
临界值表：
 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
3 . 面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量（单位：千箱）与单位成本（单位：元）的资料进行线性回归分析，结果如下：
，
，
，
.则销量每增加1000箱，单位成本下降________ 元（结果保留5位有效数字）.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：
，
.
，，，.则销量每增加1000箱，单位成本下降附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：
，.
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2023-09-03更新
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212次组卷
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5卷引用：福建省泉州市永春县永春第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题
福建省泉州市永春县永春第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题北师大版(2019) 选修第一册 数学奇书 学业评价(四十六) 相关系数 成对数据的线性相关性分析8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计练习（已下线）7.2成对数据的线性相关性（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）（已下线）第七章 统计案例（单元基础检测卷）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
4 . （1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病病毒伏期的相关信息，甚中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占
，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占
，若研究得到有
的把握认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为
，请完成下面
列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少有多少人？
参考数搌：
（2）某地区新冠肺炎治愈人数（人）与3月份的时间（日）满足回归方程
，统计数据如下：
已知
，
，
请利用所给数据求
和回归方程.
参考公式：回归直线方程
，其中
，
，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到有的把握认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为，请完成下面列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少有多少人？潜伏期7天以下 | 潜伏期7天以上 | 合计 | |
60岁以下 | |||
60岁以上 |
| ||
合计 |
（2）某地区新冠肺炎治愈人数
（人）与3月份的时间（日）满足回归方程，统计数据如下：3月日期（日） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
治愈人数（人） | 25 | 30 | 40 | 45 | t |
，，请利用所给数据求和回归方程.参考公式：回归直线方程
，其中，
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2021-08-27更新
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277次组卷
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3卷引用：福建省泉州第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题
名校
解题方法
5 . 保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离（单位：千米）和火灾所造成的损失数额（单位：千元）有如下的统计资料：
（1）请用相关系数
（精确到0.01）说明与之间具有线性相关关系；
（2）求关于的线性回归方程（精确到0.01）；
（3）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，请你评估一下火灾的损失（精确到0.01）.
参考数据：
，
，
，
，
，
.参考公式：相关系数
，线性回归方程
，其中
，.
（单位：千米）和火灾所造成的损失数额（单位：千元）有如下的统计资料：| 距消防站距离（千米） | 1.8 | 2.6 | 3.1 | 4.3 | 5.5 | 6.1 |
| 火灾损失费用（千元） | 17.8 | 19.6 | 27.5 | 31.3 | 36.0 | 43.2 |
（精确到0.01）说明与之间具有线性相关关系；（2）求
关于的线性回归方程（精确到0.01）；（3）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，请你评估一下火灾的损失（精确到0.01）.
参考数据：
，，，，，.参考公式：相关系数，线性回归方程，其中，.
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名校
解题方法
6 . 某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个指标中，难度系数
，区分度
.
（1）某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确0.01).
（2）如表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：
①计算相关系数r，|r|<0.75时，认为相关性弱；|r|≥0.75时，认为相关性强.通过计算说明，能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01).
②ti=|xi﹣0.74|(i=1，2，…，6)，求出y关于t的线性回归方程，并预测x=0.75时y的值(精确到0.01).
附注：参考数据：
参考公式：相关系数r，回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，区分度.（1）某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确0.01).
（2）如表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：
| 难度系数x | 0.64 | 0.71 | 0.74 | 0.76 | 0.77 | 0.82 |
| 区分度y | 0.18 | 0.23 | 0.24 | 0.24 | 0.22 | 0.15 |
①计算相关系数r，|r|<0.75时，认为相关性弱；|r|≥0.75时，认为相关性强.通过计算说明，能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01).
②ti=|xi﹣0.74|(i=1，2，…，6)，求出y关于t的线性回归方程，并预测x=0.75时y的值(精确到0.01).
附注：参考数据：
参考公式：相关系数
r，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
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2020-04-30更新
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994次组卷
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5卷引用：福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题
解题方法
7 . 某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间（天数）与销售单价（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.
表中
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适合作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程.
（3）若该产品的日销售量
（件）与时间的函数关系为
，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
.
（天数）与销售单价（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）. |  |  |  |  |  |  |
| 1.63 | 37.8 | 0.89 | 5.15 | 0.92 |  | 18.40 |
表中
.（1）根据散点图判断，
与哪一个更适合作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立
关于的回归方程.（3）若该产品的日销售量
（件）与时间的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？附：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.
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2020-06-13更新
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893次组卷
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5卷引用：福建省泉州第十一中学等六校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题
福建省泉州第十一中学等六校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题福建省福州市八县（市）协作体2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题山西省太原师院附中、师苑中学2018-2019学年高二下学期第三次月考数学（文）试题（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（精讲）-2020-2021学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题36 相关关系与线性回归模型及其应用-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练
13-14高二上·福建泉州·期末
名校
解题方法
8 . 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据.
（1）请根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
参考公式：
，.
（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据.
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
关于的线性回归方程；（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
参考公式：
，.
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2021-07-29更新
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193次组卷
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39卷引用：2012-2013学年福建省晋江市季延中学高二上学期期末考试文科数学卷
（已下线）2012-2013学年福建省晋江市季延中学高二上学期期末考试文科数学卷2015-2016学年河南省商丘市第一高中高一理下学期期末考数学试卷2015-2016学年河南省商丘市第一高中高一文下学期期末考数学试卷辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校2016-2017学年高一下学期期末联考数学试题甘肃省天水市一中2017-2018学年高二上学期第三次（期末）考试数学（文）试题黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题【校级联考】吉林省普通高中友好学校联合体2017-2018学年高一下学期期末联考数学试题甘肃省定西市岷县第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题广西桂林市2018-2019学年高二下学期期末数学（文）试题四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高二上学期期末模拟理科数学试题四川省宜宾市第四中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学（文）试题（已下线）2012-2013学年河南省许昌市五校高一第四次联考数学试卷2015-2016学年河北邢台一中高二6月月考理科数学试卷福建省数学基地校2017届高三毕业班总复习 概率与统计平行性测试数学（理）试题贵州省铜仁市第一中学2017-2018学年高二下学期开学考试数学（文)试题贵州省铜仁市第一中学2017-2018学年高二下学期开学考试数学（理)试题河南省南阳市第一中学2018届高三第九次考试数学（理）试题【全国百强校】山东省济南市历城第二中学2017-2018学年高二下学期4月月考数学试题【全国百强校】山东省济南市历城区第二中学2017-2018学年高二下学期4月月考数学试题四川省成都市龙泉第二中学2019届高三12月月考数学（理）试题【全国百强校】四川省遂宁市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题四川省遂宁二中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题河北省鹿泉第一中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中数学（文）试题甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试题山西省太原市实验中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题新疆北京师范大学克拉玛依附属学校2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试题广西桂林市龙胜中学2019-2020学年高二开学考试数学（文）试题（已下线）重难点02回归方程重难点考与题型突破突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题新疆乌苏市第一中学2020-2021学年高二（4-27班）下学期入学检测数学试题广西玉林市育才中学2020-2021学年高二下学期期中数学（文）试题安徽省滁州市定远县第二中学2018-2019学年高二上学期第三次调研考试数学(文)试题安徽省滁州市定远县第二中学2018-2019学年高二上学期第三次调研考试数学(理)试题黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题
2019高一下·全国·专题练习
名校
9 . 某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线
：和相关系数．现给出以下3个结论：
①
；②直线恰过点
；③
．
其中正确结论的序号是
：和相关系数．现给出以下3个结论：①
；②直线恰过点；③．其中正确结论的序号是
| A．①② | B．①③ | C．②③ | D．①②③ |
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2019-06-08更新
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586次组卷
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3卷引用：福建省泉州市泉港区泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题
福建省泉州市泉港区泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题福建省厦门外国语学校石狮分校、泉港区第一中学2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题（已下线）2019年6月11日《每日一题》变量间的相关关系
名校
10 . 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
（Ⅱ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：
能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
参考公式：
，
，
（其中
）
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
与月份之间的回归直线方程并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（Ⅱ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下
列联表：| 不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
| 驾龄不超过1年 | 22 | 8 | 30 |
| 驾龄1年以上 | 8 | 12 | 20 |
| 合计 | 30 | 20 | 50 |
参考公式：
，，（其中
） | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
您最近一年使用：0次
2019-07-16更新
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317次组卷
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8卷引用：福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题
