非线性回归练习题及答案-高中数学期中-组卷网

2024·内蒙古包头·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

1 . 某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入

（万元）与科技升级直接收益

（万元）的数据统计如下：

序号	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	6	8	10	13
	13	22	31	42	50	56	58

根据表格中的数据，建立了

与

的两个回归模型：模型①：

模型②：

.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	182.4	79.2

（附：刻画回归效果的相关指数

越大，模型的拟合效果越好）

2024-03-27更新 | 714次组卷 | 5卷引用：模块二专题1统计案例中决策分析问题（北师大高二）

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23-24高二上·辽宁沈阳·期末

多选题 | 较易(0.85) |

线性回归非线性回归相关系数的意义及辨析相关指数的计算及分析

名校

2 . 对两个变量

和

进行回归分析，则下列结论正确的为（）

A．回归直线至少会经过其中一个样本点

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．建立两个回归模型，模型

的相关系数

，模型

的相关系数

，则模型

的拟合度更好

D．以

模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设

，将其变换后得到线性方程

，则

的值分别为

2024-01-14更新 | 823次组卷 | 5卷引用：北师大版本模块五专题3 全真能力模拟3（高二期中）

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22-23高二下·黑龙江大兴安岭地·期中

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

非线性回归根据回归方程进行数据估计

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

3 . 碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为

．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量．

表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017
年份代号x	1	2	3	4	5	6	7
年度碳排放量y（单位：亿吨）	2.54	2.635	2.72	2.80	2.885	3.00	3.09

(1)若

关于x的线性回归方程为

，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？
(2)根据

，设2011~2017年间各年碳排放减少量为

，建立z关于x的回归方程

．
①根据

，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；
②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？
参考数据：

．
参考公式：

．

2023-12-26更新 | 534次组卷 | 5卷引用：黑龙江省大兴安岭实验中学(东校区)2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

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2023高三上·全国·竞赛

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

非线性回归根据回归方程进行数据估计根据样本中心点求参数

4 . 预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程

	1	2	3	4

按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是__________万元．（结果用e表示）

2023-12-20更新 | 918次组卷 | 8卷引用：北师大版高二模块三专题1第4套小题入门夯实练

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23-24高三上·重庆渝中·期中

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

非线性回归独立事件的乘法公式

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

5 . 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：

年份	2017	2018	2019	2020	2021	2022
编号	1	2	3	4	5	6
企业总数量（单位：百个）	50	78	124	121	137	352

(1)若用模型

拟合

与

的关系，根据提供的数据，求出

与

的经验回归方程；
(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为

，甲胜丙的概率为

，乙胜丙的概率为

，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：

，其中，

参考公式：对于一组数据

，其经验回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

2023-11-09更新 | 908次组卷 | 6卷引用：重庆市渝中区2024届高三上学期期中数学试题

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22-23高二下·江西萍乡·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

求回归直线方程非线性回归相关系数的计算根据回归方程进行数据估计

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

6 . 某研发小组为了解年研发资金投入量

（单位：亿元）对年销售额

（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量

和年销售额

的数据（

），建立了两个函数模型：①

，②

，其中

，

均为常数，

为自然对数的底数.设

，

，经过计算得如下数据.


20	66	770	200	14

460	4.20	3125000	0.308	21500

(1)设

和

的相关系数为

，

和

的相关系数为

，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型.
(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立

关于

的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归方程，若当年的销售额大致为

亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式：相关系数

，
线性回归直线

中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为

，

.

2023-09-13更新 | 809次组卷 | 7卷引用：江西省萍乡市2022-2023学年高二下学期期中数学试题

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22-23高二下·山东德州·期中

解答题-作图题 | 适中(0.65) |

基本不等式求和的最小值求回归直线方程非线性回归

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

7 . 在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．

月份	1	2	3	4		5
销售量（万斤）	4.9	5.8	6.8	8.3		10.2

3	7.2	11	81.1		374

该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：

．表中：

，

．
(1)根据所给数据与回归模型，求

关于

的回归方程（

的值精确到0.1，

的值精确到整数位）；
(2)已知该工厂的月利润

（单位：万元）与

，

的关系为

，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．
参考公式：对于一组数据

，

，…，

，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

．

2023-05-20更新 | 389次组卷 | 6卷引用：山东省德州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题

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22-23高三上·广东深圳·期中

解答题-应用题 | 较难(0.4) |

根据散点图判断是否线性相关求回归直线方程非线性回归求离散型随机变量的均值

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程利用均值和方差解决风险评估和决策型问题

8 . 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，

与

（其中

…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中

，

参考数据（）

5215	17713	714	27	81.3	3.6

(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.