解题方法
1 . 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力,发展学生数学建模素养,某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文,由两位评委独立评分,取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇,这10篇论文的评分情况如下表所示.
(1)从这篇论文中随机抽取1篇,求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率;
(2)从这篇论文中随机抽取3篇,甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为,求的分布列及数学期望;
(3)对于序号为的论文,设评委甲的评分为,评委乙的评分为,分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为,,标准差为,,以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名,判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?(结论不要求证明)
序号 | 评委甲评分 | 评委乙评分 | 初评得分 |
1 | 67 | 82 | 74.5 |
2 | 80 | 86 | 83 |
3 | 61 | 76 | 68.5 |
4 | 78 | 84 | 81 |
5 | 70 | 85 | 77.5 |
6 | 81 | 83 | 82 |
7 | 84 | 86 | 85 |
8 | 68 | 74 | 71 |
9 | 66 | 77 | 71.5 |
10 | 64 | 82 | 73 |
(2)从这篇论文中随机抽取3篇,甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为,求的分布列及数学期望;
(3)对于序号为的论文,设评委甲的评分为,评委乙的评分为,分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为,,标准差为,,以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名,判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?(结论不要求证明)
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解题方法
2 . 2024年1月11日,记者从门头沟区两会上获悉,目前国道109新线高速公路(简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成,项目整体进度已达到,预计今年上半年开始通车,通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处(分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利,为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民,对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查(问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口),具体情况如下:
(假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立,且均选择上表中的一个高速出口下高速)。
(1)从被调查的居民中随机选1人,求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率;
(2)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人,从出行旅游的人中随机抽取1人,这三人中从斋堂出口下高速的人数记为,求的分布列和数学期望;
(3)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人,用 “”表示此人从斋堂出口下高速,“”表示此人不从斋堂出口下高速:从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人,用 “”表示此人从斋堂出口下高速,“”表示此人不从斋堂出口下高速,写出方差 的大小关系. (结论不要求证明).
(假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立,且均选择上表中的一个高速出口下高速)。
项目 | 斋堂出口 | 清水出口 | 安家庄出口 | 雁翅出口 | 火村出口 | 西台子出口 |
上班 | 40 | 8 | 2 | 5 | 3 | 2 |
旅游 | 30 | 20 | 10 | 10 | 12 | 8 |
探亲 | 16 | 10 | 10 | 5 | 5 | 4 |
(1)从被调查的居民中随机选1人,求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率;
(2)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人,从出行旅游的人中随机抽取1人,这三人中从斋堂出口下高速的人数记为,求的分布列和数学期望;
(3)用上表样本的频率估计概率,从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人,用 “”表示此人从斋堂出口下高速,“”表示此人不从斋堂出口下高速:从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人,用 “”表示此人从斋堂出口下高速,“”表示此人不从斋堂出口下高速,写出方差 的大小关系. (结论不要求证明).
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3 . 10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一,资格赛比赛规则如下:每位选手采用立姿射击60发子弹,总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;
(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
(3)甲、乙、丙各射击10次,用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数,其中.写出一个的值,使.(结论不要求证明)
环数 | 6环 | 7环 | 8环 | 9环 | 10环 |
甲的射出频数 | 1 | 1 | 10 | 24 | 24 |
乙的射出频数 | 3 | 2 | 10 | 30 | 15 |
丙的射出频数 | 2 | 4 | 10 | 18 | 26 |
(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;
(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
(3)甲、乙、丙各射击10次,用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数,其中.写出一个的值,使.(结论不要求证明)
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4 . 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题,某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查,得到两地区林下灌木层,乔木层,草本层的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得数据如表1,表2所示:
表1:老山油松人工林林下灌木层
表2:妙峰山油松次生林林下灌木层
(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株,求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率;
(2)以表格中植物类型的频率估计概率,从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株(假设每次抽取的结果互不影响),记这3株植物的植物类型是灌木的株数为,求的分布列和数学期望;
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为;从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为.请直接写出与大小关系.(结论不要求证明)
表1:老山油松人工林林下灌木层
植物名称 | 植物类型 | 株数 |
酸枣 | 灌木 | 28 |
荆条 | 灌木 | 41 |
孩儿拳头 | 灌木 | 22 |
河朔荛花 | 灌木 | 4 |
臭椿 | 乔木幼苗 | 1 |
黑枣 | 乔木幼苗 | 1 |
构树 | 乔木幼苗 | 2 |
元宝槭 | 乔木幼苗 | 1 |
植物名称 | 植物类型 | 株数 |
黄栌 | 乔木幼苗 | 6 |
朴树 | 乔木幼苗 | 7 |
栾树 | 乔木幼苗 | 4 |
鹅耳枥 | 乔木幼苗 | 7 |
葎叶蛇葡萄 | 木质藤本 | 8 |
毛樱桃 | 灌木 | 9 |
三裂绣线菊 | 灌木 | 11 |
胡枝子 | 灌木 | 10 |
大花溲疏 | 灌木 | 10 |
丁香 | 灌木 | 8 |
(2)以表格中植物类型的频率估计概率,从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株(假设每次抽取的结果互不影响),记这3株植物的植物类型是灌木的株数为,求的分布列和数学期望;
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为;从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株,记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为.请直接写出与大小关系.(结论不要求证明)
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名校
5 . 某大学A学院共有学生千余人,该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,按性别分层抽样,已知A学院男生与女生人数之比为,从该学院所有学生中抽取若干人作为样本,对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计,得到下表.
用样本频率估计总体概率,
(1)求a的值,并估计从A学院所有学生中抽取一人,该学生5月份累计跑步里程()在中的概率;
(2)从A学院所有男生中随机抽取2人,从A学院所有女生中随机抽取2人,估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率;
(3)该大学B学院男生与女生人数之比为,B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.
5月份累计跑步里程平均值(单位:)
设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为,B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为,是否存在,使得?如果存在,求的最大值;如果不存在,说明理由.
跑步里程s() | ||||
男生 | 9 | 10 | 6 | |
女生 | 6 | 6 | 4 | 2 |
(1)求a的值,并估计从A学院所有学生中抽取一人,该学生5月份累计跑步里程()在中的概率;
(2)从A学院所有男生中随机抽取2人,从A学院所有女生中随机抽取2人,估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率;
(3)该大学B学院男生与女生人数之比为,B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.
5月份累计跑步里程平均值(单位:)
学院性别 | A | B |
男生 | 50 | 59 |
女生 | 40 | 45 |
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解题方法
6 . 第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行,赛程时间安排如下表:
(1)若小明在每天各随机观看一场比赛,求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率;
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场,记为看到双人雪橇的次数,求的分布列及期望;
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛,用“”表示小明在周六看到单人雪橇,“” 表示小明在周六没看到单人雪橇,“”表示小明在周日看到单人雪橇,“”表示小明在周日没看到单人雪橇,写出方差,的大小关系.
12月16日 | 星期六 | 9:30 | 单人雪橇第1轮 |
10:30 | 单人雪橇第2轮 | ||
15:30 | 双人雪橇第1轮 | ||
16:30 | 双人雪橇第2轮 | ||
12月17日 | 星期日 | 9:30 | 单人雪橇第3轮 |
10:30 | 单人雪橇第4轮 | ||
15:30 | 团体接力 |
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场,记为看到双人雪橇的次数,求的分布列及期望;
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛,用“”表示小明在周六看到单人雪橇,“” 表示小明在周六没看到单人雪橇,“”表示小明在周日看到单人雪橇,“”表示小明在周日没看到单人雪橇,写出方差,的大小关系.
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7 . 某项游戏的规则如下:游戏可进行多轮,每轮进行两次分别计分,每次分数均为不超过10的正整数,选手甲参加十轮游戏,分数如下表:
若选手在某轮中,两次分数的平均值不低于7分,且二者之差的绝对值不超过1分,则称其在该轮“稳定发挥”.
(1)若从以上十轮游戏中任选两轮,求这两轮均“稳定发挥”的概率;
(2)假设甲再参加三轮游戏,每轮得分情况相互独立,并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数,求的分布列和数学期望;
(3)假设选手乙参加轮游戏,每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值,为各轮较低分的算数平均值,为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小(结论不要求证明).
轮次 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 |
第一次分数 | 7 | 6 | 8 | 9 | 8 | 5 | 9 | 7 | 10 | 7 |
第二次分数 | 8 | 7 | 9 | 10 | 8 | 9 | 8 | 7 | 7 | 9 |
(1)若从以上十轮游戏中任选两轮,求这两轮均“稳定发挥”的概率;
(2)假设甲再参加三轮游戏,每轮得分情况相互独立,并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数,求的分布列和数学期望;
(3)假设选手乙参加轮游戏,每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值,为各轮较低分的算数平均值,为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小(结论不要求证明).
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名校
解题方法
8 . 每年8月8日为我国的全民健身日;倡导大家健康、文明、快乐的生活方式,为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动,为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟),得到下表:
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率;
(2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为,求随机变量的分布列和数学期望;
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为.写出一个的值,使得(结论不要求证明).
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率;
(2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为,求随机变量的分布列和数学期望;
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为.写出一个的值,使得(结论不要求证明).
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9 . 某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如图,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
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名校
解题方法
10 . 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单位”)分为六大类.其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓群”,某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表:
(1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观,求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率;
(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观;小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观,两人选择参观单位互不影响,求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率:
(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为,抽不到海淀区的概率为,试判断和的大小(直接写出结论 ).
行政区 | 门类 | 个数 |
东城区 | A:革命遗址及革命纪念建筑物 | 3 |
C:古建筑及历史纪念建筑物 | 5 | |
西城区 | C:古建筑及历史纪念建筑物 | 2 |
丰台区 | A:革命遗址及革命纪念建筑物 | 1 |
海淀区 | C:古建筑及历史纪念建筑物 | 2 |
房山区 | C:古建筑及历史纪念建筑物 | 1 |
E:古遗址 | 1 | |
昌平区 | C:古建筑及历史纪念建筑物 | 1 |
F:古墓葬 | 1 |
(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观;小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观,两人选择参观单位互不影响,求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率:
(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为,抽不到海淀区的概率为,试判断和的大小(
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2024-03-10更新
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237次组卷
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3卷引用:北京市顺义区第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题
北京市顺义区第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题北京市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(已下线)专题10.2 事件的相互独立性-举一反三系列(人教A版2019必修第二册)