1 . 我省年起全面实施新高考方案.在门选择性考试科目中，物理､历史两门学科采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为､､､和，并按给定的公式进行转换赋分.某市组织了高三年级期初统一考试，并尝试对生物学科的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分	98	96	95	92	90	88	85	83
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	2	1	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）该市此次高三学生的生物学科原始分服从正态分布.现随机抽取了该市名高三学生的生物学科的原始分，学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值.
附：若则，.

2 . 甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）

3 . 为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得-1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得-1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.当前一名物业人员的投票结束，再安排下一名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每一名物业人员投票的概率分别为和.
（1）在第一名物业人员投票结束后，A方案的得分记为，求的分布列；
（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.

4 . 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．
（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为 ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．
①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?
②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于．

5 . 为了筛查某种疾病，需要对某地区n个人的血液进行检验，如果将每个人的血液分别检验，则需要检验n次.为了减少工作量，采用一种混合检验的方法：按k个人一组进行分组，将同组k个人的血样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人的血液全为阴性，因而这k个人的血样只要检验一次就够了，相当于每个人检验次；如果混合血样检验的结果为阳性，则说明这k个人中至少有一个人的血液k为阳性，就要对这k个人的血样再逐个检验，此时这k个人的血样总共检验了次，相当于每个人检验次.假设该地区每个人血液检验成阳性的概率为p，且每个人的血液检验为阳性相互独立.现取其中k份血样，记采用混合检验的方法中每个人需要验血的次数为.
（Ⅰ）求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）当时，采用混合检验的方法可以减少工作量，求k的范围；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，求k为何值时检验的工作量最小.
附：，，

6 . 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，

7 . 在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中，．

	4	5	6
P	0.4	a	b

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为（单位：元）．
（i）设时的概率为m，求当m取最大值时，利润的分布列和数学期望；
（ii）设某数列满足，，，若对任意恒成立，求整数t的最小值．

8 . 某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．

以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为.
①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，.

9 . 某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性.若现有份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测次；
方式二：混合检测，将其中份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这份样本逐份检测，因此检测总次数为次，假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是.
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%.为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案：
方案一：将50人分成10组，每组5人；
方案二：将50人分成5组，每组10人.
试分析哪种方案的检测总次数更少？
(取，，)
（2）现取其中份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为；采用混合检测方式，需要检测的总次数为.若，试解决以下问题：
①确定关于的函数关系；
②当为何值时，取最大值并求出最大值.

10 . 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（       ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)