1 . 近年来，中国航天事业取得巨大成就.为发扬并传承中国航天精神，某校组织“航天知识”擂台赛，每场擂台赛共5局，每局胜者1分，负者0分，先得3分者为获胜者.分出胜负，比赛立即结束，现有甲、乙两名参赛者进行比赛，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，若第三局比赛结束分出胜负的概率为.
(1)求；
(2)设比赛结束时的比赛局数为，求的分布列和数学期望.

3 . 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
(1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；
(2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.

5 . 魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、反应力.基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间（单位：秒），得到相关数据如下：

时间 人数 年级
低年级	2	8	12	14	4
高年级	10	22	16	10	2

(1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
(2)在这次测试中，从所用时间在和内的学生中各随机抽取1人，记抽到低年级学生的人数为，求的分布列和数学期望.

8 . 某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．
(1)求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；
(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．