解题方法
1 . 在课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为
，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为
，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为
，若前一次没有投进，则该次投进的概率为
．
(1)求甲3次投篮得4分的概率；
(2)若乙3次投篮得分为
，求的分布列和数学期望．
，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没有投进，则该次投进的概率为．(1)求甲3次投篮得4分的概率；
(2)若乙3次投篮得分为
，求的分布列和数学期望．
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2024-02-14更新
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1041次组卷
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3卷引用：1号卷·A10联盟2022-2023学年（2021级）高二下学期开年考数学（北师大版）试题
1号卷·A10联盟2022-2023学年（2021级）高二下学期开年考数学（北师大版）试题2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷一（九省联考题型）（已下线）专题7.9 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
2 . 我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长
（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时．
时长 |
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|
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学生数 | 30 | 24 | 40 | 16 | 10 |
(1)估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)以表中
的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的时长
，则赠送家长慰问金100元；抽取的时长
，则赠送家长慰问金200元；抽取的时长
，则赠送家长慰问金300元．设抽取的2名学生家长慰问金额之和为，求的分布列及数学期望．
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2024-02-10更新
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1404次组卷
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7卷引用：【名校面对面】2023-2024学年高三上学期开学大联考数学试题
【名校面对面】2023-2024学年高三上学期开学大联考数学试题（已下线）第七章 随机变量及其分布（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题7.7 随机变量及其分布全章十一大基础题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）江西省赣州市南康中学2024届高三“九省联考”考后模拟训练数学试题（一）2024届广东省新改革高三模拟高考预测卷三（九省联考题型）数学试卷2024届广东省新改革高三模拟高考预测卷一（九省联考题型）数学试卷（已下线）2024年高考数学二轮复习测试卷（新题型，江苏专用）
3 . 一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌.
(1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望；
(2)甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得
分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
(1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为
，求的数学期望；(2)甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得
分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
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名校
4 . 甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若
表示“在甲所得筹码为
枚时，最终甲获胜的概率”，则
.证明：
为等比数列.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为
，求的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若
表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.
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2023-07-20更新
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1804次组卷
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6卷引用：2024届高三开学摸底考试
（已下线）2024届高三开学摸底考试河北省张家口市2023届高三三模数学试题山西省运城市运城中学2023届高三第二次模拟数学试题福建省福州市四校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题湖北省武汉市第四十九中学2024届高三上学期九月调考模拟数学试题（二）（已下线）微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）
名校
解题方法
5 . 某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为
，，，，面试第二轮通过的概率分别为，
，
，，且4人的面试结果相互独立．
(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
，，，，面试第二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
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2023-02-03更新
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809次组卷
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5卷引用：1号卷·A10联盟2023届高三开年考数学试题
1号卷·A10联盟2023届高三开年考数学试题安徽省十校联盟2023届高三下学期开学考试数学试题（已下线）第七章 随机变量及其分布（A卷·知识通关练）（3）（已下线）第7章 概率初步（续）（A卷·知识通关练）（1）江西省宜春市铜鼓中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题
解题方法
6 . 某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
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解题方法
7 . 为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．
(1)求a的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；
(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在
与
的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
(1)求a的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；
(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在
与的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
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2022-03-01更新
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304次组卷
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2卷引用：1号卷·A10联盟2022届高三下学期开年考理科数学试卷
名校
8 . 为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为
，求的分布列；(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
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2022-01-10更新
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1261次组卷
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8卷引用：数学-2022届高三下学期开学摸底考试卷C（理科）（新课标专用）
（已下线）数学-2022届高三下学期开学摸底考试卷C（理科）（新课标专用）北京市十一学校2022届高三1月月考数学试题（已下线）7.2离散型随机变量及其分布列B卷新疆喀什地区岳普湖县2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题（已下线）第05讲 离散型随机变量及其分布列（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）7.2 离散型随机变量及其分布列（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.2 离散型随机变量及其分布列 (精讲）（2）
2022高三·全国·专题练习
9 . 某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
参考公式：回归直线的方程是：
＝
x＋
，其中，＝
＝
，
＝
－
.
| 家庭编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 月收入x(千元) | 20 | 30 | 35 | 40 | 48 | 55 |
| 月支出y(千元) | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | 11 |
(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
参考公式：回归直线的方程是：
＝x＋，其中，＝＝，＝－.
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名校
10 . 某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为
的样本进行调查.调查结果表明：主动预习的学生占样本容量的
，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的.
（1）完成下面
列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；
（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组.现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望
.
附：
，
.
的样本进行调查.调查结果表明：主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的.（1）完成下面
列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；学习兴趣高 | 学习兴趣一般 | 合计 | |
主动预习 |
|
| |
不太主动预习 | |||
合计 |
|
|
，求的分布列和数学期望.附：
，.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2021-08-07更新
|
335次组卷
|
3卷引用：2021年秋季高三数学（理）开学摸底考试卷03
