3 . 某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为，
(1)求；
(2)设，数列，求的通项公式；
(3)顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：．

4 . 某电竞平台开发了两款训练手脑协同能力的游戏，款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.款游戏规则是：共设计了（且关，每位玩家都有次闯关机会，每关闯关成功的概率为，不成功的概率为，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩两款游戏.
(1)电竞游戏玩家甲玩款游戏，若第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)电竞游戏玩家甲玩款游戏，记玩家甲第次闯关获得的分数为，求关于的解析式，并求的值.（精确到0.1，参考数据：.）

9 . 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
(1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．