1 . 设集合
为
的非空子集，随机变量
分别表示取到
中的最小元素和最大元素的数值.
(1)若
，求事件“
且
”的概率；
(2)若
的概率为
，求
；
(3)求随机变量
的均值
.
为的非空子集，随机变量分别表示取到中的最小元素和最大元素的数值.(1)若
，求事件“且”的概率；(2)若
的概率为，求；(3)求随机变量
的均值.
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解题方法
2 . 设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量
表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量
表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
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2023-11-13更新
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1815次组卷
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6卷引用：江西省上饶市艺术学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
江西省上饶市艺术学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题江苏省徐州市2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高三上学期11月期中抽测数学试题广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）黄金卷02（已下线）广东省深圳市深圳外国语学校2024届高三上学期第二次模拟测试数学试题变式题17-22
名校
解题方法
3 . 某蓝莓基地种植蓝莓，按
个蓝莓果重量
（克）分为
级：
的为级，
的为
级，
的为
级，
的为
级，
的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布
．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为
（可精确到
）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过
，的最大值为______ ．
附：
，
，
个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为附：
，，
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2023-06-03更新
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1402次组卷
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10卷引用：江西省五校（高安二中、丰城九中、樟树中学、瑞金一中、宜丰中学）2023-2024学年高二直升班上学期第三次联考数学试题
江西省五校（高安二中、丰城九中、樟树中学、瑞金一中、宜丰中学）2023-2024学年高二直升班上学期第三次联考数学试题（已下线）专题04 超几何分布+二项分布+正态分布压轴题（4）（已下线）第七章 概率初步（续）（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）安徽省马鞍山二中2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题山东省泰安肥城市2023届高考适应性训练数学试题（二）（已下线）第四篇 概率与统计 专题7 常见分布 微点2 其它分布（已下线）第七节 二项分布、超几何分布与正态分布 B卷素养养成卷 一轮点点通（已下线）考点14 正态分布 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）【讲】 专题四 概率统计中的范围与最值问题（压轴大全）（已下线）【练】专题九 概率中数学文化问题（压轴大全）
名校
4 . 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
与
（其中
…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
，
，
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
，，参考数据（ | |||||
|
|
|
|
|
|
5215 | 17713 | 714 | 27 | 81.3 | 3.6 |
）
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
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2023-09-22更新
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3781次组卷
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24卷引用：江西省五校（高安二中、丰城九中、樟树中学、瑞金一中、宜丰中学）2023-2024学年高二直升班上学期第三次联考数学试题
江西省五校（高安二中、丰城九中、樟树中学、瑞金一中、宜丰中学）2023-2024学年高二直升班上学期第三次联考数学试题专题16回归分析（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（1）（已下线）第八章 成对数据的统计分析（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型 第三练 能力提升拔高（已下线）专题8.8 成对数据的统计分析全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）江苏省海安市实验中学等四校联考2023-2024学年高二下学期5月检测数学试题广东省深圳市实验中学、深圳市高级中学、珠海市第一中学、北江中学、湛江市第一中学等五校2023届高三上学期11月期中联考数学试题重庆市2024届高三上学期9月月度质量检测数学试题（已下线）考点巩固卷26分布列及三大分布(十一大考点)-2重庆市巴南区重庆市实验中学校2024届高三上学期期中数学试题（已下线）2024年高三模拟押题卷01福建省南平市邵武市邵武一中2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）第三节 成对数据的统计分析（第一课时） B卷素养养成卷 一轮复习点点通广东省广州市真光中学2024届高三上学期12月适应性测试数学试题（已下线）模块六 全真模拟篇 拔高1 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高三（已下线）专题13 统计（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-2（已下线）每日一题 第13题 回归模型 合理拟合（高三）（已下线）模块三 专题6大题分类练(统计) 拔高能力练（已下线）统 计（已下线）专题08 统计案例分析（分层练）（三大题型+8道精选真题）福建省宁化第一中学2024届高三下学期第一次质检模拟数学试题（已下线）专题3 变量的相关性、回归分析压轴大题（过关集训）
名校
5 . 近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布
，其中
为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用
表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：
，
.
参考数据：
，
，
| 年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 该校最低提档分数线 | 510 | 511 | 520 | 512 | 526 |
| 数学专业录取平均分 | 522 | 527 | 540 | 536 | 554 |
提档线与数学专业录取平均分之差 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布
，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用
表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.参考公式：
，.参考数据：
，，
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2023-02-15更新
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1700次组卷
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8卷引用：江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题
江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题（已下线）9.1.2线性回归方程（2）（已下线）第8章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（分层作业）（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（2）（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-1辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题（已下线）专题3 变量的相关性、回归分析压轴大题（过关集训）
名校
6 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知
．
①试证明：
为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知
．①试证明：
为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
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2023-01-15更新
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8903次组卷
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21卷引用：江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题
江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题河北省唐山市曹妃甸区曹妃甸新城实验学校（北京景山学校曹妃甸分校）2022-2023学年高二下学期期末数学试题江苏省苏北四市(徐州、淮安、宿迁、连云港)2022-2023学年高三上学期1月第一次联合调研测试数学试题四川省成都市树德中学2023届高三上学期1月模拟检测理科数学试题山东省日照市2023届高三一模考试数学试题（已下线）安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模理科数学试题变式题16-20辽宁省瓦房店市高级中学2022-2023学年高三下学期期初考试数学试题辽宁省铁岭市六校协作体2022-2023学年高三质量检测数学试题（已下线）山东省日照市2023届高三一模考试数学试题变式题17-22湖南师范大学附属中学2023届高三一模数学试题江苏省连云港市灌南高级中学2023届高三下学期3月解题能力竞赛数学试题专题24计数原理与概率与统计（解答题）专题13数列（解答题）广东省汕头市潮阳实验学校2023届高三下学期4月教学质量检测（四）数学试题（已下线）第四篇 概率与统计 专题5 两端带有吸收壁的随机游动 微点1 两端带有吸收壁的随机游动江苏省徐州市沛县第二中学2023-2024学年高三上学期期初测试数学试题江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2023届高三上学期第一次调研数学试题（已下线）第十章 概率统计 专题2 马尔科夫链问题 一题多解安徽省池州市第一中学2024届高三上学期“七省联考” 数学模拟练习（2）（已下线）湖南省郴州市2024届高三一模数学试题变式题17-22
名校
7 . 某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的
，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的
．
(1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？
(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费
元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为
；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若
，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．(1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？
| Ⅰ型病 | Ⅱ型病 | 合计 | |
| 男 | |||
| 女 | |||
| 合计 |
元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
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2022-09-08更新
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1250次组卷
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9卷引用：江西省万安中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题
江西省万安中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题沪教版(2020) 选修第二册 单元训练 期末测试（已下线）第八章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）（已下线）第四章 概率与统计（A卷·知识通关练）（3）（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（3）（已下线）专题5 卡方运、R运算（提升版)（已下线）三省三校2022届高三下学期第一次模拟数学（理）试题变式题16-20（已下线）统计与成对数据的统计分析-综合测试卷A卷（已下线）专题4 独立性检验压轴大题（过关集训）
名校
8 . 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为
次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为
，若
，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：
）（ ）
次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（ ）| A．0.4 | B．0.3 | C．0.2 | D．0.1 |
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2022-01-12更新
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4770次组卷
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19卷引用：江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、金溪一中2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、金溪一中2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）7.3离散型随机变量的数字特征C卷广东省汕头市潮阳林百欣中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题广东省广州市六中2021-2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）第06讲 离散型随机变量的均值与方差（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）广东省佛山市南海区九江中学2021-2022学年高二下学期6月校内三检数学试题广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题黑龙江省佳木斯市汤原县高级中学等四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题吉林省长春市第二实验中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题江苏省常州高级中学江苏省锡山高级中学2023-2024学年第二学期高二年级5月联考数学河北省唐山市2022届高三上学期期末数学试题（已下线）技巧02 多选题解法与技巧（练）--第二篇 解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）专题09 概率与统计（突破训练）-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练（全国通用）（已下线）专题05 指对幂函数及其应用（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）福建省连城县第一中学2023届高三上学期暑期月考数学试题辽宁省实验中学2022-2023学年度高三上学期12月教学质量检测数学试题河北省衡水市安平县2023届高三上学期12月调研数学试题（已下线）专题7 第1讲 概率、随机变量及其分布列（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题一 随机变量的期望 微点1 随机变量的分布列、期望（一）【培优版】
名校
9 . 随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
对近60天，每天揽件数量统计如下表：
以上数据已做近似处理，将频率视为概率.
（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？
| 重量（单位：kg） | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
| 件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
| 件数范围 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
| 件数 | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| 天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？
您最近一年使用：0次
2019-05-18更新
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2832次组卷
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4卷引用：江西省上饶中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题（理）
