1 . 在正整数集上定义函数，满足，且.
（1）求证：；
（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论.

2 . 已知函数,设,其中,方程和方程根的个数分别为．
（1）求的值;
（2）证明:.

3 . 已知在数列中，，，，，且对于任意有.
（1）求证：任意，；
（2）求证：任意，为整数.

4 . 已知数列{a_n}满足．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）对任意正整数n，a_n小数点后第一位数字是多少？请说明理由．

5 . 已知数列满足,且对任意,都有
成立.
（1）求的值;
（2）证明:数列是等差数列.

6 . 已知函数，记为的导数，.
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.

7 . 已知函数，设为的导数，．
（1）求，；   
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．

8 . 已知函数，记，当时，.
（1）求证：在上为增函数；
（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．

9 . 已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n，恒成立．
（1）如果，，成等差数列，求实数的值；
（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满足，，(i)．求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项．

10 . 已知数列，，且对任意n恒成立．
（1）求证：(n)；
（2）求证：(n)．