1 . 设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.

3 . 已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．

4 . 若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．
（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．

5 . 已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.

6 . 否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为_______．

7 . 已知数列的前项和为，.
（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1．

8 . 设是两个实数，给出下列条件：
①；②；③；④；⑤.
其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________．

9 . 已知数列 满足：，，；数列 满足：．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）证明：数列 中的任意三项不可能成等差数列．

10 . 已知，求证：
（1）；
（2）与至少有一个大于.