名校
1 . 设
为正整数，若
满足：①
，
；②对于
，均有
.则称
具有性质
.对于和
，定义集合
.
(1)设
，若
具有性质
，请写出一个及相应的
；
(2)设
，请写出一个具有性质
的，满足
；
(3)设
，是否存在具有性质
的，使得
？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由.
为正整数，若满足：①，；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合.(1)设
，若具有性质，请写出一个及相应的；(2)设
，请写出一个具有性质的，满足；(3)设
，是否存在具有性质的，使得？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由.
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2021-11-09更新
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342次组卷
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2卷引用：北京八一学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题
2 . 设正整数
，集合
，对于集合
中的任意元素
和
，及实数
，定义：当且仅当
时
；
；
.
若的子集
满足：当且仅当
时，
，则称
为的完美子集.
(1)当
时，已知集合
，
.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合
.若不是的完美子集，求
的值；
(3)已知集合
，其中
.若
对任意
都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若
的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.(1)当
时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；(2)当
时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；(3)已知集合
，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
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2021-11-04更新
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770次组卷
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7卷引用：北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题
北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题北京市顺义区杨镇第一中学2023届高三上学期10月月考数学试题北京市汇文中学2023届高三上学期期中考试数学试题北京市东直门中学2022-02023学年高一下学期期中考试数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）
3 . 设为正整数，若
满足：①
，
，2，…，
；②对于，均有．则称具有性质．对于和
，定义集合
．
（1）设，若
具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为
，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足
的有偶数个．
为正整数，若满足：①，，2，…，；②对于，均有．则称具有性质．对于和，定义集合．（1）设
，若具有性质，写出一个及相应的；（2）设
和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；（3）设
和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
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4 . 对
，定义
．
（1）求
的最小值；
（2）
，有
恒成立，求A的最大值；
（3）求证：不存在
，且m＞n，使得
为恒定常数．
，定义．（1）求
的最小值；（2）
，有恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在
，且m＞n，使得为恒定常数．
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2021-07-19更新
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539次组卷
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3卷引用：北京市一零一中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
名校
5 . 已知集合
，其中
．对于
，
，定义与之间的距离为
．
（1）记
，写出所有
使得
；
（2）记
，、
，并且
，求
的最大值；
（3）设
，
中所有不同元素间的距离的最小值为
，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：
．
，其中．对于，，定义与之间的距离为．（1）记
，写出所有使得；（2）记
，、，并且，求的最大值；（3）设
，中所有不同元素间的距离的最小值为，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：．
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2021-05-30更新
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1162次组卷
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3卷引用：北京市十一学校2021届高三综合练习数学试题
解题方法
6 . 数列
中，给定正整数
，
.定义:数列满足
，称数列的前项单调不增.
（Ⅰ）若数列通项公式为：
，求
；
（Ⅱ）若数列满足：
，求证
的充分必要条件是数列的前项单调不增；
（Ⅲ）给定正整数，若数列满足：
，且数列的前项和为
，求
的最大值与最小值.(写出答案即可)
中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.（Ⅰ）若数列
通项公式为：，求；（Ⅱ）若数列
满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增；（Ⅲ）给定正整数
，若数列满足：，且数列的前项和为，求的最大值与最小值.(写出答案即可)
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名校
7 . 已知是无穷数列，
，
且对于中任意两项
，
在中都存在一项
，使得
.
（1）若
，
求
；
（2）若
，求证：数列中有无穷多项为
；
（3）若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，且对于中任意两项，在中都存在一项，使得.（1）若
，求；（2）若
，求证：数列中有无穷多项为；（3）若
，求数列的通项公式.
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2020-11-15更新
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550次组卷
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4卷引用：北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题
北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题北京市第二十中学2022-2023学年高二下学期期中考试试卷（已下线）2020年高考北京数学高考真题变式题16-21题
8 . 已知
，给定
个整点
,其中
.
（Ⅰ）当
时,从上面的
个整点中任取两个不同的整点
，求
的所有可能值；
（Ⅱ）从上面个整点中任取个不同的整点，
.
（i）证明：存在互不相同的四个整点
，满足
,
；
（ii）证明：存在互不相同的四个整点
，满足
,
.
，给定个整点,其中.（Ⅰ）当
时,从上面的个整点中任取两个不同的整点，求的所有可能值；（Ⅱ）从上面
个整点中任取个不同的整点，.（i）证明：存在互不相同的四个整点
，满足,；（ii）证明：存在互不相同的四个整点
，满足,.
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2020-01-21更新
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481次组卷
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4卷引用：北京市第一七一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
12-13高三上·江苏无锡·期中
名校
9 . 已知数列
的前项和
满足
，数列
满足
．
Ⅰ
求数列和数列的通项公式；
Ⅱ令
，若
对于一切的正整数恒成立，求实数
的取值范围；
Ⅲ数列中是否存在
，且 
使
，
，
成等差数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
的前项和满足，数列满足．Ⅰ求数列和数列的通项公式；Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ数列中是否存在，且 使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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2018-12-12更新
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948次组卷
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4卷引用：北京市海淀区中关村中学2022届高三上学期开学测试数学试题
北京市海淀区中关村中学2022届高三上学期开学测试数学试题【区级联考】北京市通州区2019届高三上学期期中考试数学（理）试题2020届北京市海淀区首都师范大学附属中学高三开学考试数学试题（已下线）2012届江苏省无锡市高三上学期期中考试数学
名校
10 . 对于维向量
，若对任意
均有
或
，则称为维
向量. 对于两个维向量
定义
.
（1）若
, 求的值；
（2）现有一个
维向量序列：
若
且满足：
，求证：该序列中不存在维向量
.
(3) 现有一个
维向量序列：若
且满足：
，若存在正整数
使得
为维向量序列中的项，求出所有的.
维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若
, 求的值；（2）现有一个
维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个
维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.
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2017-05-04更新
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607次组卷
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5卷引用：卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（北京专用）
（已下线）卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（北京专用）北京市东城区2017届高三二模理科数学试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）理数试题（已下线）北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题
