数学奥林匹克高中训练题_56
全国
高三
竞赛
2019-01-06
347次
整体难度：
适中
考查范围：
竞赛知识点
数学奥林匹克高中训练题_56
全国
高三
竞赛
2019-01-06
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整体难度：
适中
考查范围：
竞赛知识点
一、单选题 添加题型下试题
单选题
|
较易(0.85)
1. 一个递减的等差数列，它的前7项的5次幂之和为零，4次幂之和为2002，则这个数列的第7项是（ ）.
| A．2002 | B． |
C． | D． |
【知识点】 数列通项公式求解
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满足
.则
的最大值与最小值的和等于（
与点
，用
表示线段
上除端点外的所有整点的个数.则
的值等于（
单选题
|
适中(0.65)
4. 一个球外接于四面体
，另一个半径为1的球与平面
相切，且两球内切于点
.已知
.则四面体的体积等于（ ）.
，另一个半径为1的球与平面相切，且两球内切于点.已知.则四面体的体积等于（ ）.A． | B． | C．3 | D．5 |
【知识点】 空间中元素位置关系 空间中距离和角的计算 棱柱、棱锥及四面体性质 体积和表面积
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单选题
|
适中(0.65)
5. 已知复数
满足
，且
.则以这四个复数对应的点为顶点的四边形一定是（ ）.
满足，且.则以这四个复数对应的点为顶点的四边形一定是（ ）.| A．矩形 | B．正方形 | C．平行四边形 | D．梯形 |
【知识点】 复数的几何意义及复平面 复数的几何形式
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单选题
|
适中(0.65)
6. 设长轴长为
，短轴长为
的椭圆的面积为
，已知等腰直角
的斜边
.那么，与各边都相切，且长轴与
边平行的椭圆的面积的最大值是（ ）.
，短轴长为的椭圆的面积为，已知等腰直角的斜边.那么，与各边都相切，且长轴与边平行的椭圆的面积的最大值是（ ）.A． | B． |
C． | D． |
【知识点】 均值不等式 圆锥曲线 直线与二次曲线方程及性质
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二、填空题 添加题型下试题
填空题-单空题
|
适中(0.65)
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填空题-单空题
|
适中(0.65)
12. 一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为52
和24，一位农业科技人员欲将这块土地从内部分割为一些全等的正方形试验田.要求这块土地全部被划分且分割成的正方形的边与土地的边界平行，现有2002栅栏，最多可将这块土地分割成______ 块正方形试验田.
和24，一位农业科技人员欲将这块土地从内部分割为一些全等的正方形试验田.要求这块土地全部被划分且分割成的正方形的边与土地的边界平行，现有2002栅栏，最多可将这块土地分割成【知识点】 分割
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三、解答题 添加题型下试题
解答题-证明题
|
适中(0.65)
14. 以的边为实轴的双曲线交此三角形的另两边
、
的延长线于
、
.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点
.求证：
.
的边为实轴的双曲线交此三角形的另两边、的延长线于、.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点.求证：.
【知识点】 三角恒等式、不等式、最值 直线与二次曲线方程及性质 参数方程 解析法
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解答题-证明题
|
适中(0.65)
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解答题-问答题
|
较难(0.4)
17. 设
，其中
和
都是实数，且
.证明：若
，则对一切正整数
，均有
.
，其中和都是实数，且.证明：若，则对一切正整数，均有.
【知识点】 复数概念及基本运算 复数与三角及复数与方程 复数的三角形式 第一数学归纳法
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试卷分析
整体难度：适中
考查范围：竞赛知识点
试卷题型（共 18题）
题型
数量
单选题
6
填空题
6
解答题
6
试卷难度
细目表分析 导出
| 题号 | 难度系数 | 详细知识点 | 备注 |
| 一、单选题 | |||
| 1 | 0.85 | 数列通项公式求解 | |
| 2 | 0.65 | 不等式与多变量函数的最值 均值不等式 | |
| 3 | 0.65 | 数列求和 格点及其性质 素数和合数 | |
| 4 | 0.65 | 空间中元素位置关系 空间中距离和角的计算 棱柱、棱锥及四面体性质 体积和表面积 | |
| 5 | 0.65 | 复数的几何意义及复平面 复数的几何形式 | |
| 6 | 0.65 | 均值不等式 圆锥曲线 直线与二次曲线方程及性质 | |
| 二、填空题 | |||
| 7 | 0.65 | 三角函数运算 三角恒等式、不等式、最值 | 单空题 |
| 8 | 0.65 | 组合计数问题 | 单空题 |
| 9 | 0.65 | 函数的奇偶性 数列求和 单位根及应用 | 单空题 |
| 10 | 0.65 | 三角函数图像与性质 整数与整除 | 单空题 |
| 11 | 0.65 | 数列通项公式求解 数列求和 极限定义及求法 | 单空题 |
| 12 | 0.65 | 分割 | 单空题 |
| 三、解答题 | |||
| 13 | 0.65 | 数列通项公式求解 | 问答题 |
| 14 | 0.65 | 三角恒等式、不等式、最值 直线与二次曲线方程及性质 参数方程 解析法 | 证明题 |
| 15 | 0.65 | 调整法 (放缩法) | 证明题 |
| 16 | 0.65 | 梅勒劳斯定理 纯几何方法 | 证明题 |
| 17 | 0.4 | 复数概念及基本运算 复数与三角及复数与方程 复数的三角形式 第一数学归纳法 | 问答题 |
| 18 | 0.4 | 格点及其性质 整数与整除 同余及孙子定理 | 问答题 |
