【推荐1】在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.
（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；
（3）设，，求的值.（用表示）

【推荐2】定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.
已知数列满足且点在二次函数的图象上.
（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；
（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．

【推荐3】已知数列中，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：．