某科研团队发现了一种新型单细胞生物,在长时间观测后,科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件:①死亡;②保持原状;③分裂成两个活细胞;④分裂成三个活细胞.若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞,试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率.
更新时间:2020-12-05 21:21:03
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】受新冠肺炎疫情的影响,2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业
的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行,资料初审通过后才能进行笔试,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便正式录取,且这几个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业
的线上招聘,并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为
,
;乙通过笔试、面试的概率分别为
,
;丙通过笔试、面试的概率与乙相同.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业
正式录取的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业
正式录取的概率;
(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,企业
决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴,补贴标准如下表:
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为
元,求
的分布列和数学期望.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,企业
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
参与环节 | 笔试 | 面试 |
补贴(元) | 100 | 200 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为
,刚开始时,棋子在上底面点
处,若移了
次后,棋子落在上底面顶点的概率记为
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/6/24/2491686674898944/2491806179991552/STEM/f19c93ecd6e64237b1299fe5ee3686c5.png?resizew=151)
(1)求
,
的值:
(2)求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/6/24/2491686674898944/2491806179991552/STEM/f19c93ecd6e64237b1299fe5ee3686c5.png?resizew=151)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2708fa6298e52f617383efc175b71ddc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b9cb8e6ff801523b0304576cd69fd2d.png)
(2)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ace5f289553984d8e3df08d2b983289f.png)
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐3】第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办,本届亚运会共设40个竞赛大项.其中首次增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同,近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利,而在双败赛制下,每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局,因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍,淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛,胜者进入到总决赛,总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下,两两分组,胜者进入到胜者组,败者进入到败者组,胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛,败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰,胜者将跟胜者组的败者对决,其中的胜者进入总决赛,最后总决赛的胜者即为冠军,双败赛制下会发现一个有意思的事情,在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军,但是其它的队伍却有一次失败的机会,近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数,因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平,是否真的如此呢?
这里我们简单研究一下两个赛制,假设四支队伍分别为A、B、C、D,其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为
.最初分组时AB同组,CD同组.
(1)若
,在淘汰赛赛制下,A、C获得冠军的概率分别为多少?
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用
表示),并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响,是否如很多人质疑的“对强者不公平”?
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/10/28/860a733a-b782-4f26-bc7e-20cf071b566b.png?resizew=287)
这里我们简单研究一下两个赛制,假设四支队伍分别为A、B、C、D,其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e9a3c717616181400bc5fcaaa384c48.png)
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
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较难
(0.4)
真题
名校
【推荐1】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有
位学生,每次活动均需该系
位学生参加(
和
都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系
位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(2)求使
取得最大值的整数
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(2)求使
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14b5b0987cc82566b9d481827dd55edd.png)
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】目前不少网络媒体都引入了虚拟主播,某视频平台引入虚拟主播
,在第一天的直播中有超过
万人次的观看.
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播
的直播,若小李前一天观看了虚拟主播
的直播,则当天观看虚拟主播
直播的概率为
,若前一天没有观看虚拟主播
的直播,则当天观看虚拟主播
直播的概率为
,求小李第
天和第
天至少有一天观看虚拟主播直播的概率;
(2)若未来
天内虚拟主播
的直播每天有超过
万人次的观看的概率为
,记这
天中每天有超过
万人次观看的天数为
.
(i)比较
与
的大小,其中
;
(ii)记
,求
.
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(1)已知小李第1天观看了虚拟主播
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
(2)若未来
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d07ae0b4264da6a8812454ffd2f20d94.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d07ae0b4264da6a8812454ffd2f20d94.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(i)比较
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13d6cf4e9ee2bf5350bd9906bb950c8f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/641570fc03f56b7b2f0120fec07ba8dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b6bf1c48ca4bb12e27db554aedea302.png)
(ii)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1cebd8ba41e3321eed98fd71c568cf97.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f21800d1bb5597afa2cc3227ef61ac18.png)
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知甲口袋有
个红球和2个白球,乙口袋有
个红球和2个白球,小明从甲口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出一个球,然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出一个球.
(1)当
时,
(i)求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率;
(ii)设小明4次摸球中,摸出白球的个数为
,求
的数学期望;
(2)当
时,设小明4次摸球中,恰有3次摸出红球的概率为
,则当
为何值时,
最大?
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(1)当
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(i)求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率;
(ii)设小明4次摸球中,摸出白球的个数为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b0a4480988244a9d04ec293975db2cc0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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较难
(0.4)
【推荐2】在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数
的分布列和期望;
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外
人中的
人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外
人中的
人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第
次传球之前球在甲脚下的概率为
,易知
.
① 试证明:
为等比数列;
② 设第
次传球之前球在乙脚下的概率为
,比较
与
的大小.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
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(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ffb021aa7d5a5c2f0691e337caad624.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ccb00156af41dd19c8f093358a19419.png)
① 试证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1522ca5beca917b24f0f8ce40730c34f.png)
② 设第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0ce603aa3abcb61750d2191aaa13dddc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4719d65f3c813e7c4ba32d6f13b38f31.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87af8921ddb226a1fec93cf1cc8d696.png)
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐3】(某工厂生产零件A,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为
,工人乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为
.已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
(1)试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;
(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A,如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.Pi+4(i=
4,
3,
2,…,4)表示甲总分为i时,最终甲获胜的概率.
①写出P0,P8的值;
②求决赛甲获胜的概率.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/58f76a9590cd60f2a7e1a52b34ba2891.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/71999cec6647d7516172fa29dceafd32.png)
(1)试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;
(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A,如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.Pi+4(i=
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b700fa9aeb1016aa71f76e4b6bb212e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b700fa9aeb1016aa71f76e4b6bb212e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b700fa9aeb1016aa71f76e4b6bb212e.png)
①写出P0,P8的值;
②求决赛甲获胜的概率.
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