【推荐1】欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.

【推荐2】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等.已知，，.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系.

（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，.请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

【推荐1】某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？

【推荐2】已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？

【推荐3】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.
（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；
（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.