设X，Y为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在
上给出一个非单射的映射；(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
更新时间：2024-03-23 02:13:57
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点.
（1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点；
（2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得
是区间（
，
）的λ一内点；
（3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1.
（1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点；
（2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得
是区间（，）的λ一内点；（3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】对于有限个自然数组成的集合
，定义集合
，记集合
的元素个数为
.定义变换
，变换将集合变换为集合
.
（1）若
，求
；
（2）若集合
，证明：
的充要条件是
.
，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.（1）若
，求；（2）若集合
，证明：的充要条件是.
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是实数，证明：对任何满足
的实数，不等式
恒成立的充要条件是：
且
．
