第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：
，
，
，
（单位：分），得到如下的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩X近似服从正态分布
，其中
为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），
，试用正态分布知识解决下列问题：
(1)若这次竞赛共有1.2万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过90.5分的人数（结果精确到个位）；
(2)现从所有参赛的大学生中随机抽取5人进行座谈，设其中竞赛成绩超过81分的人数为Y，求随机变量Y的期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则
，
，
．
，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：(1)若这次竞赛共有1.2万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过90.5分的人数（结果精确到个位）；
(2)现从所有参赛的大学生中随机抽取5人进行座谈，设其中竞赛成绩超过81分的人数为Y，求随机变量Y的期望．
附：若随机变量X服从正态分布
，则，，．
更新时间：2024-03-25 23:39:35
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解题方法
【推荐1】从某校高一学生中抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中
的值；
(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点代替，计算样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数；
(3)求出样本中的100名学生该周课外阅读时间的第60百分位数.
| 组号 | 分组 | 频数 |
| 1 |  | 6 |
| 2 |  | 8 |
| 3 |  | 17 |
| 4 |  | 22 |
| 5 |  | 25 |
| 6 |  | 12 |
| 7 |  | 6 |
| 8 |  | 2 |
| 9 |  | 2 |
| 合计 | 100 | |
(1)求频率分布直方图中
的值；(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点代替，计算样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数；
(3)求出样本中的100名学生该周课外阅读时间的第60百分位数.
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(0.65)
名校
解题方法
【推荐2】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出
个利润为
元，未售出的每个亏损
元.根据以往
天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了
个这种蛋糕.以
（单位：个， 
）表示这天的市场需求量. 
（单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.
(1)将表示为的函数，根据上表，求利润不少于
元的概率；
(2)估计这天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了
名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为
.
完善上表，并根据上表，判断是否有
的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？
附：
.
个利润为元，未售出的每个亏损元.根据以往天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了个这种蛋糕.以（单位：个， ）表示这天的市场需求量. （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.| 需求量/个 |  |  |  |  |  |
| 天数 | 10 | 20 | 30 | 25 | 15 |
表示为的函数，根据上表，求利润不少于元的概率；(2)估计这
天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3)元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了
名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为.购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 | |
| 女性 | 28 | ||
| 男性 | 22 | ||
| 合计 | 28 | 22 | 50 |
的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？附：
.
| 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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适中
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【推荐3】某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解学生们的劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间（时） | 频数（人数） | 频率 |
| 12 | 0.12 |
| 30 | 0.3 |
|
| 0.4 |
| 18 |
|
合计 |
| 1 |
(1)统计表中的
______，
______，补全频率分布直方图；(2)估计所有被调查学生劳动时间的平均数；
(3)针对被调查的学生，用分层抽样的方法从劳动时间在
和
的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人全部来自劳动时间在的概率.
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解答题-问答题
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解题方法
【推荐1】智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”;否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题:
（1）从该社区 中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；
（2）医学上通常认为，人的体温不低于
且不高于
时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
智能体温计测温 | 36.6 | 36.6 | 36.5 | 36.5 | 36.5 | 36.4 | 36.2 | 36.3 | 36.5 | 36.3 |
水银体温计测温 | 36.6 | 36.5 | 36.7 | 36.5 | 36.4 | 36.4 | 36.2 | 36.4 | 36.5 | 36.4 |
序号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
智能体温计测温 | 36.3 | 36.7 | 36.2 | 35.4 | 35.2 | 35.6 | 37.2 | 36.8 | 36.6 | 36.7 |
水银体温计测温 | 36.2 | 36.7 | 36.2 | 35.4 | 35.3 | 35.6 | 37 | 36.8 | 36.6 | 36.7 |
（2）医学上通常认为，人的体温不低于
且不高于时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.
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名校
【推荐2】团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表（单位：人）.
（1）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率：
（2）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为
，求随机变量的数学期望及方差.
| 是 | 否 | 合计 | |
| 青年 | 40 | 10 | 50 |
| 中年 | 30 | 20 | 50 |
| 合计 | 70 | 30 | 100 |
（2）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为
，求随机变量的数学期望及方差.
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解答题-应用题
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【推荐3】已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方､现甲､乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲､乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的2×2列联表：
(1)完成
列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为“比赛得分与接､发球有关”？
(2)以列联表中甲､乙各自接､发球的得分频率分别作为每一回合中甲､乙各自接､发球的得分概率.
①若第1回合是甲先发球，设第
回合是甲发球的概率为
，证明：
是等比数列；
②已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
，则
.若第1回合是甲先发球，求甲､乙连续进行300回合比赛后，甲的总得分期望.（结果保留2位小数）
参考公式：
，其中
，
.
| 甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
| 甲发球 | 90 | ||
| 乙发球 | 120 | ||
| 总计 | 120 | 300 |
列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“比赛得分与接､发球有关”？(2)以
列联表中甲､乙各自接､发球的得分频率分别作为每一回合中甲､乙各自接､发球的得分概率.①若第1回合是甲先发球，设第
回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；②已知：若随机变量
服从两点分布，且，，则.若第1回合是甲先发球，求甲､乙连续进行300回合比赛后，甲的总得分期望.（结果保留2位小数）参考公式：
，其中，.
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解答题-应用题
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【推荐1】在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对
地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：
（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；
（2）以频率估计概率，假设地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费 可视为服从正态分布
，，
分别为（1）中的平均数
以及方差
，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在
的人数；
（3）以频率估计概率，若从2016年地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在
的人数为
，求的分布列以及数学期望．
参考数据：
；若随机变量
服从正态分布，则
，
，
．
地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：5年花费（万元） |
|
|
|
|
|
|
人数 | 60 | 100 | 120 | 40 | 60 | 20 |
（2）以频率估计概率，假设
地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费 可视为服从正态分布，，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在的人数；（3）以频率估计概率，若从2016年
地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望．参考数据：
；若随机变量服从正态分布，则，，．
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
(1)依据小概率值
的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？
(2)假设潜伏期Z服从正态分布，其中近似为样本平均数
，近似为样本方差．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
(3)以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有
个属于“长潜伏期”的概率是
，当k为何值时，取得最大值？
附：
．
若随机变量Z服从正态分布，则
，
，
，
．
年龄 | 潜伏期 | 合计 | |
长潜伏期 | 非长潜伏期 | ||
50岁以上 | 30 | 110 | 140 |
50岁及50岁以下 | 20 | 40 | 60 |
合计 | 50 | 150 | 200 |
(1)依据小概率值
的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？(2)假设潜伏期Z服从正态分布
，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；(3)以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有
个属于“长潜伏期”的概率是，当k为何值时，取得最大值？附：
．
| 0.1 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
，则，，，．
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适中
(0.65)
名校
【推荐3】第13届女排世界杯共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布
．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（每场比赛采取五局三胜制）．最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分．已知中国队的第7场比赛对阵美国队，设每局中国队取胜的概率为
．
(1)如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在
内的排球个数（计算结果四舍五入取整数）．
(2)第7场比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为
．
①求出的最大值点
；
②若以作为p的值，在第10场比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列．
参考数据：
，则
．
（单位：g）服从正态分布．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（每场比赛采取五局三胜制）．最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分．已知中国队的第7场比赛对阵美国队，设每局中国队取胜的概率为．(1)如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在
内的排球个数（计算结果四舍五入取整数）．(2)第7场比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为
．①求出
的最大值点；②若以
作为p的值，在第10场比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列．参考数据：
，则．
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