甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为
，通过乙地的各项程序的概率依次为
，
，．
(1)依据小概率值
的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：
，
．
人数 性别 | 参加考核但未能签约的人数 | 参加考核并能签约的人数 |
| 男生 | 30 | 20 |
| 女生 | 35 | 15 |
，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．(1)依据小概率值
的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：
，． | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
更新时间：2024-05-25 15:20:29
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解题方法
【推荐1】为了解大学生对2022年北京冬奥会上的“雪上项目”“冰上项目”的喜欢程度，某高校随机抽取了男生55人，女生45人进行问卷调查，其中，男生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为
；女生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为
．
(1)请根据以上调查结果将下面的
列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢“雪上项目”或“冰上项目”与性别有关？
(2)从选择“冰上项目”的学生中，用分层抽样的方法随机选出9人，再从9人随机抽取4人交流学习，记这4人中男生人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：
，其中．
；女生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为．(1)请根据以上调查结果将下面的
列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢“雪上项目”或“冰上项目”与性别有关？| 喜欢“雪上项目” | 喜欢“冰上项目” | 总计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 总计 |
附：
，其中． | 0.100 | 0.050 | 0.025 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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解答题-问答题
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名校
【推荐2】为考查高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占
，女生中喜欢数学课程的占
，得到如下列联表.
(1)请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；
(2)从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，求抽取的学生中至少有1名是女生的概率..
附：
，其中.
，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.喜欢数学课程 | 不喜欢数学课程 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，求抽取的学生中至少有1名是女生的概率..
附：
，其中. | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解答题-问答题
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名校
【推荐3】为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?
现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为
，求的分布列及数学期望．
附：
． 临界值表
| 分数 | [50,59) | [60,69) | [70,79) | [80,89) | [90,100] |
| 甲班频数 | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
| 乙班频数 | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |
| 甲班 | 乙班 | 总计 | |
| 成绩优良 | |||
| 成绩不优良 | |||
| 总计 |
，求的分布列及数学期望．附：
． 临界值表
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解答题-应用题
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适中
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解题方法
【推荐1】海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其分布表格如下：
旧养殖法
新养殖法
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率.
（2）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
附：
旧养殖法
| 箱产量/kg | 0-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 |
| 网箱数/个 | 0 | 6 | 7 | 12 | 17 | 20 | 16 | 10 | 6 | 6 |
| 箱产量/kg | 0-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 |
| 网箱数/个 | 0 | 2 | 10 | 22 | 34 | 23 | 5 | 4 |
（2）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
| 箱产量<50kg | 箱产量≥50kg | |
| 旧养殖法 | ||
| 新养殖法 |
| P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解答题-问答题
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【推荐2】某学校六年级1､2两个班级同时进行一次数学竞赛考试，已知满分100分，分数不小于60视为及格，否则视为不及格，现随机抽取两个班级各40名学生的数学成绩，其结果如下表：
（1）根据表中数据，分别估计六年级1､2两个班级数学竞赛考试的及格率；
（2）根据以上数据，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
的情况下认为此次数学竞赛考试中学生数学及格与班级有关？
（3）若按高分(大于等于80分为高分)与非高分的比例，从1班考试的分数中抽取4个分数，从2班考试的分数中抽取5个分数，记事件
：从上面4个1班考试的分数中随机抽取2个，且都不是高分；事件
：从上面5个2班考试的分数中随机抽取2个，一个是高分，一个不是高分.试通过计算说明这两个事件中哪一个事件发生的概率大.
附：
，其中.
| 数学竞赛考试分数 |  |  |  |  |  |
| 1班的学生数 | 11 | 9 | 10 | 7 | 3 |
| 2班的学生数 | 8 | 8 | 16 | 3 | 5 |
（1）根据表中数据，分别估计六年级1､2两个班级数学竞赛考试的及格率；
（2）根据以上数据，完成下面的
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的情况下认为此次数学竞赛考试中学生数学及格与班级有关？| 1班 | 2班 | 合计 | |
| 及格 | |||
| 不及格 | |||
| 合计 |
（3）若按高分(大于等于80分为高分)与非高分的比例，从1班考试的分数中抽取4个分数，从2班考试的分数中抽取5个分数，记事件
：从上面4个1班考试的分数中随机抽取2个，且都不是高分；事件：从上面5个2班考试的分数中随机抽取2个，一个是高分，一个不是高分.试通过计算说明这两个事件中哪一个事件发生的概率大.附：
，其中. |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐3】高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩
与物理成绩
如下表：
数据表明与之间有较强的线性相关性.
(1)求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；
(2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面的2×2列联表，依据小概率值
0.01的独立性检验，分析数学优秀与物理优秀有关系？
参考公式及数据：
，
，
，
，
，其中.
下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
与物理成绩如下表：| 数学成绩 | 140 | 130 | 120 | 110 | 100 |
| 物理成绩 | 110 | 90 | 100 | 80 | 70 |
与之间有较强的线性相关性.(1)求
关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；(2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面的2×2列联表，依据小概率值
0.01的独立性检验，分析数学优秀与物理优秀有关系？| 数学成绩 | 物理成绩 | 合计 | |
| 物理优秀 | 物理不优秀 | ||
| 数学优秀 | |||
| 数学不优秀 | |||
| 合计 | |||
，，，，，其中.下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. | | |  | | |
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为
．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列
为等比数列．
．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列
为等比数列．
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐2】2022年新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日正式施行，其中明确要求国家优先发展青少年和学校体育，推进体育强国和健康中国建设.某校为此积极开展羽毛球运动项目，学生甲和乙经过一段时间训练后进行了一场羽毛球友谊赛，比赛采用3局2胜制（即有一名运动员先胜2局获胜），已知甲每局获胜的概率为，且双方约定：以
取胜的运动员得3分，负者得1分；以
取胜的运动员得2分，负者得1分.
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束后，求乙的积分的分布列和数学期望.
，且双方约定：以取胜的运动员得3分，负者得1分；以取胜的运动员得2分，负者得1分.(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束后，求乙的积分
的分布列和数学期望.
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】在全国“质量月”活动之前，为引导企业弘扬工匠精神，落实主体责任，该地质检部门决定从中小企业中抽取4家的负责人参加“提质”座谈会，已知该地中小企业中有6家是典型的“优质企业”，另外n家是“普通企业”．记
为抽取的4家企业中“优质企业”的数量．
(1)当n＝4时，求的分布列及期望；
(2)若从这n＋6家企业中任选2家企业的负责人发言，记这2人中恰好1人来自“优质企业”，另外1人来自“普通企业”的概率为
，则当n为何值时，P最大？
为抽取的4家企业中“优质企业”的数量．(1)当n＝4时，求
的分布列及期望；(2)若从这n＋6家企业中任选2家企业的负责人发言，记这2人中恰好1人来自“优质企业”，另外1人来自“普通企业”的概率为
，则当n为何值时，P最大？
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐1】某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为
，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求
，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若
，则
，当
较大且
较小时，我们为了简化计算，常用的值估算
的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若
，则
.
，记10000名客户中获得赔偿的人数为.(1)求
，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若
，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若
，则.
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐2】某超市从
年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取
个，并按
、
、
、
、
分组，得到频率分布直方图如图，假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
（1）写出频率分布直方图甲中的
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
、
，试比较与的大小；（只需写出结论）
（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于
箱且另一个不高于箱的概率；
（3）设表示在未来
天内甲种酸奶的日销售量不高于箱的天数，以日销售量落入各组的频率为概率，求的分布列和数学期望.
年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，并按、、、、分组，得到频率分布直方图如图，假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.（1）写出频率分布直方图甲中的
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较与的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于
箱且另一个不高于箱的概率；（3）设
表示在未来天内甲种酸奶的日销售量不高于箱的天数，以日销售量落入各组的频率为概率，求的分布列和数学期望.
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解答题-问答题
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(0.65)
【推荐3】我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的
；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为
；在选历史的条件下，选地理的概率为
．
(1)求该校最终选地理的学生概率；
(2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．
①求随机变量
的概率；
②求X的分布列以及数学期望．
；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．(1)求该校最终选地理的学生概率；
(2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．
①求随机变量
的概率；②求X的分布列以及数学期望．
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