某种仪器随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加. 现对一批该仪器进行调查，得到这批仪器自购入使用之日起，前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如下表：
（1）根据表中所给数据，试建立
关于
的线性回归方程
；
（2）若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满五年换一次仪器，还是应该使用满八年换一次仪器？并说明理由.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
,
| 年份（年） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 维护费（万元） | 0.7 | 1.2 | 1.6 | 2.1 | 2.4 |
关于的线性回归方程；（2）若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满五年换一次仪器，还是应该使用满八年换一次仪器？并说明理由.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式： ,
更新时间：2019/07/06 15:29:33
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解题方法
【推荐1】某种产品的广告费支出(百万元)与销售额(百万元)之间有如下对应数据:
如果与之间具有线性相关关系.
(1)作出这些数据的散点图；
(2)求这些数据的线性回归方程;
(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额． （参考数据：
）
(百万元)与销售额(百万元)之间有如下对应数据:
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
与之间具有线性相关关系.(1)作出这些数据的散点图；
(2)求这些数据的线性回归方程
;(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额． （参考数据：
）
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解答题-问答题
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名校
【推荐2】随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设
，利用
与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有
的概率享受9折优惠，有
的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为
相关数据：
(其中
.
| 年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 使用扫码支付的人次y(单位：万人) | 5 | 12 | 16 | 19 | 21 |
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为相关数据：(其中.
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【推荐3】为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见下表：
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲，
；方程乙，
.
（1）求
(结果精确到0.01)与
的值.
（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.
①完成下表(备注：
，
称为相应于点(xi，yi)的残差)；
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
年广告投入x(万元) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年利润y(十万元) | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 |
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲，
；方程乙，.（1）求
(结果精确到0.01)与的值.（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.
①完成下表(备注：
，称为相应于点(xi，yi)的残差)；年广告投入x(万元) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
年利润y(十万元) | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 | |
模型甲 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
模型乙 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
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【推荐1】下表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格（单位：千元/吨）数据：
（1）从表中数据可认为和线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程（系数精确到
）；
（2）以（1）的结论为依据，预测2032年该原料价格.预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨？
参考数据：
，
，
，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 平均价格 （单位：千元/吨） |  |  |  |  |  |  |  |
和线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程（系数精确到）；（2）以（1）的结论为依据，预测2032年该原料价格.预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨？
参考数据：
，，，参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
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解题方法
【推荐2】近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业.据统计，某市一家新能源企业近5个月的产值如下表，由散点图知，该企业产值（亿元）与月份代码线性相关.
(1)求出关于的线性回归方程；
(2)根据（1）中的结果，预测明年2月份该企业的产值.
参考公式：
.
参考数据：
.
（亿元）与月份代码线性相关.| 月份 | 6月 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 |
| 月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
产值（亿元 | 16 | 20 | 27 | 30 | 37 |
关于的线性回归方程；(2)根据（1）中的结果，预测明年2月份该企业的产值.
参考公式：
.参考数据：
.
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解题方法
【推荐3】国内某企业研发了一款产品，根据产品成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价（单位：元/件）与月销售量（单位：万件），并得到随机变量
相对应的一组数据为
．
(1)根据相关系数
（结果保留两位小数），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当
时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．（参考数据：
）
(2)建立
关于
的经验回归方程，并估计当产品的月销售量86875件时，该产品的售价约为多少？
参考公式：相关系数
回归方程
中斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为：
．
（单位：元/件）与月销售量（单位：万件），并得到随机变量相对应的一组数据为．(1)根据相关系数
（结果保留两位小数），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．（参考数据：）(2)建立
关于的经验回归方程，并估计当产品的月销售量86875件时，该产品的售价约为多少？参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
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