【推荐1】已知数列的前n项和满足（，），且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设是数列的前n项和，证明：.

【推荐2】已知正项数列其前n项和满足，且是和的等比中项.
（1）求证：数列为等差数列，并计算数列的通项公式；
（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记 ，求.

【推荐3】设为数列的前项和，对任意的，都有（为常数，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

【推荐1】已知曲线：，：（），从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点.设，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求证：；
（Ⅲ）若已知（），记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.

【推荐2】设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个1，构成如下的新数列：，求这个数列的前项的和；
（3）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列（如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推），设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列的前项和满足，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，证明：.

【推荐1】如果数列同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数，
对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列”.
（1）若数列满足证明数列为“类等比数列”，并求出相应的的值；
（2）若数列为“类等比数列”，且满足问是否存在常数，使得对任意都成立？若存在，求出，若不存在，请举出反例.

【推荐2】已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质
(2)证明：，且
(3)当时，若，若数集具有性质，求数集．

【推荐3】若项数为的单调增数列满足：①；②对任意，存在使得；则称数列具有性质.
（1）分别判断数列1，3，4，7和1，2，3，5是否具有性质，并说明理由；
（2）若数列具有性质，且.
（i）证明数列的项数；
（ii）求数列中所有项的和的最小值.