【推荐1】数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，记数列的前项和为.已知.
（1）若（是大于2的正整数）求证：；
（2）若（是某个确定的正整数），求证:数列中每个项都是数列的项.

【推荐2】设数列的前项和为，对一切，点都在函数
的图象上
（1）求归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，， ；，，，；，．．．，
分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式对一切 都成立，其中，求的取值范围

【推荐3】已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合，若对于集合中的元素，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为，判断数列是否具有性质，若具有，写出集合与集合；
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合中的最小元素为，当时，证明：.

【推荐1】（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.

【推荐2】已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.

【推荐3】已知数列，的首项，且满足，，其中，设数列，的前项和分别为，．
（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求．
（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下且同时满足以下两个条件：
（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；
（ⅱ）恒成立．试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．