【推荐1】如图1，在中，，点D是的中点，点E在上．

(1)求证：；
(2)如图2，若，的延长线交于点F，且，垂足为F，原题设其它条件不变，求证：；
(3)在（2）的条件下，请直接写出、、的数量关系：____________________．

【推荐2】问题发现】
（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点．为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
   
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2．当点P在对角线上：
   
①求证：点E在边所在直线上；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积及的长．
   

【推荐3】在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（–a，0）、点 B（0， b），且 a、b 满足a²+b²–4a–8b+20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．
（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；
（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】（1）提出问题：如图1，在和中，，，，连，连并延长，交于点，①的度数是________；②________；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连，连并延长，交延长线于点，①的度数是________；②________．
（3）迁移应用：如图3，在等边中于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，在平面内将绕着点顺时针旋转一定角度得到图4，为的中点，为的中点．①求证：在图4情况下的形状是等腰三角形；②求的度数．

【推荐2】如图，在中，，将绕点顺时针旋转度得到，连接，线段（或其延长线）分别交、于、点．

(1)求证：；
(2)在旋转的过程中，是否存在一个时刻，使得与全等？若存在，求出此时旋转角的大小．

【推荐3】如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．
   
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，当等于多少时，．

【推荐1】在平行四边形中，的平分线交边于点，交的延长线于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，，连接、，当时，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．

【推荐2】如图，点P是□ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
(1)当点P与点O重合时如图1，线段OE与线段OF的数量关系是______．

(2)如图2，点P在OC上运动时（不与点O与C重合），（1）中的结论是否成立？
(3)点P在OC的延长线上运动时，当∠OFE=60°时，如图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

【推荐3】中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．

             图1                                                  图2                                                图3
(1)如图1，当点在线段上，时，求证：；
(2)如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
(3)如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；

【推荐1】如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．
（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．

【推荐2】如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．

(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图1，直线与直线分别交于点E，F，．

(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，延长交直线于点G，过点G作交直线于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一动点，作平分，当点K运动到使时，与是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．