【推荐3】已知，为内部的一条射线，．

(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则      ；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角）

【推荐1】已知直线，点、分别为，上的动点，且平分交于．

(1)如图，若，，
①直接写出的度数；
②求与的度数．
(2)如图，延长交直线于，平分交于点，写出与的关系，并说明理由．

【推荐2】已知：，，，是从点O引出的三条射线．
   
(1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______；
(2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余；
(3)如图3，当射线在外，若，平分，平分．
①当小于时，猜想与的关系，并说明理由；
②当大于而小于时，直接写出的度数．

【推荐1】探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝30°，则∠ACD的度数是　 　度；
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分别为D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数；
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝　 　度．

【推荐2】如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；
（1）如图2，当∠α＝　 　时，，当∠α＝　 　时，DE⊥BC；
（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是　 　；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；
③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．

【推荐3】在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
   
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？

【推荐1】△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．

(1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
(2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
(3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．

【推荐2】如图，在中，过C作的平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于G，交AC于E，且．
（1）试说明．
（2）作的平分线CF交AD于P，交AB于F，试说明．
（3）（2）的条件下，若，试判断AF、CG、AC的关系．

【推荐3】
(1)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，为的两个外角，则与的数量关系                       ．
(2)探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在中，分别平分和，则与的数量关系                 ．
(3)探究三：若将改为任意四边形呢？
已知：如图丙，在四边形中，分别平分和，则与的数量关系                           ．
(4)探究四：若将上题中的四边形改为六边形呢？如图丁
则与的数量关系                           ．
(5)探究五：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设；
如图①，，则                 ；（用α，β表示）
如图②，，请在图中画出，且              ；（用α，β表示）
一定存在吗？如有，直接写出的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在．