【推荐1】如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．

(1)如图1，当点在线段上时．
①用等式表示与的数量关系；
②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．

【推荐2】今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图所示，灯射出的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即，点在上，在上，连接、、，已知平分，平分．

(1)如图，若，则______；
(2)如图，在上另有一点E，连接交于点F，点G在上，连接，若，，试证明：．
(3)如图，已知灯射出的光线旋转的速度是每秒，灯射出的光线旋转的速度是每秒，若灯射出的光线从出发先转动秒，灯射出的光线才从出发开始转动，设灯转动的时间为秒，在转动过程中，当时，请直接写出灯射出的光线与灯射出的光线相交且互相垂直时的时间的值．

【推荐3】如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．
   
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，直线交直线于点，问与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(3)如果将（2）中的条件改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．

【推荐1】在中，，为平面上一点，分别连接，，．

(1)如图1，当，点在边上时，以为腰在右侧作等腰直角，且，连接．
求证：；
(2)如图2，当，点在内部时，，，，求的长；
(3)如图3，当在外部，且，，设，，则的值是否发生变化，若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由．

【推荐1】如图1，已知在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，作点关于轴的对称点，连接，，．
　 　
(1)求点的坐标和的度数；
(2)如图2，将点绕点逆时针转动度（）得到点，点是平面内一点，以、、、为顶点形成的四边形为平行四边形．
①当该平行四边形为菱形且是其一边时，求点的坐标；
②当内部（包含边界）存在满足条件的点时，直接写出点的横坐标的取值范围．