【推荐1】如图，点A，B，C的位置如图所示．

(1)用直尺作线段和直线；
(2)作射线，在射线上作一点D，使得．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【推荐2】如图，已知线段，，作一条线段AB，使它等于.
   

【推荐3】（1）如图，，，，为以为直径的圆上任意一点，求证：为定值．
       
（2）尺规作图：以上图结论画出点，使，保留作图痕迹并写出步骤．
   

【推荐2】如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）

【推荐3】如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：

第一步：在，上分别截取，，使．
第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．
第三步：作射线．（保留作图痕迹）
(1)射线是_______________________．
(2)连接，，与全等吗？请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边，在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点．

(1)求证：；
(2)在点的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出的度数；
(3)当点运动到什么位置时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时点的横坐标.

【推荐2】如图，是等边三角形，，BE交AD于点P．

(1)求证：．
(2)过点B作于Q，依题意补全图形并证明．（要求尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

【推荐1】综合与实践：
a．背景阅读：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等．

b．实践操作：
下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）：
第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平；
第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示；
第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形．

c．问题解决：
(1)图③中，______（保留根号），四边形的形状是______；
(2)请证明图④中的四边形是黄金矩形；
(3)请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值）

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，，，E是边CD的中点，点P是边AD上一动点（与A，D不重合），射线PE与线段BC的延长线交于点Q．

(1)求证；
(2)若点F是线段PB中点，连接EF，AF，当时．
①求证：四边形APEF是平行四边形；
②试判断四边形APEF是否是菱形，并说明理由．

【推荐3】已知四边形ABCD中，，，连接AC，BD交于点E，过点A作交BD于点F，连接CF．

(1)如图1，求证：四边形ABCF为菱形；
(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（等边三角形除外）．