【推荐1】如图，是等腰直角三角形， ．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动．点P出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接．设点P的运动时间为t秒．
   
(1)求的长（用含t的式子表示）；
(2)就图中情形求证：；
(3)当时，直接写出t的值．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，∠BAC与∠BCA的平分线相交于点O，点D在AB上，且AD=OD，DO的延长线交BC于点E.试求△BDE的周长.

【推荐3】如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和， 的延长线交于点D，连接．

(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求的长．

【推荐1】如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．

(1)求证：AG＝AD；
(2)求证：DF＝EF；
(3)若CF＝CE，S_△ADG＝2，求△DGF的面积．

【推荐2】已知：△ABC在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，∠BAC＝60°，点B和点C在x轴上且关于y轴对称（点B在点O的左侧），点C的坐标是（4，0）．

（1）如图1，点D在AC上，连接OD，使得AD＝OD，求点D的横坐标；
（2）如图2，点E在x轴的负半轴上（点E在点B的左侧），连接DE，DE与AB交于点F，当AD＝BE时，求证：EF＝FD．

【推荐3】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，．

(1)求证：四边形AEBO是菱形；
(2)求证：；
(3)若∠ADB=30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO．

【推荐1】如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A＝30°，D为的中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当BC＝6，，求AF的长．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．
（1）求证：ODAC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求阴影部分的面积．

【推荐2】如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使点A点的左上方，且tan∠AOB＝，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．

(1)S_扇形AOB＝　　；
(2)点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为 　　；
(3)在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP<180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°），
①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；
②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．

【推荐3】如图，点是边上的一点，以为圆心，长为半径作圆，分别交于，与边相切于点，点为弧的中点．
   
(1)求证：．
(2)若，，则阴影部分的图形面积为______（结果保留）．