【推荐1】如图，在平行四边形中，对角线交于O点，过O点且绕该点旋转的动直线分别交线段、线段于M、N两点，点M不与点B重合，连接．
   
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是菱形时，，，求平行四边形边上的高．
(3)在（2）条件下，若，求的长．

【推荐2】如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点H，延长交于点F，连接．

(1)求证：．
(2)若正方形边长是5，，求的长．

【推荐3】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

   

阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．

   

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接．
∵M是的中点，
∴．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长．

【推荐1】对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．

(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形的边长是______；
(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数；
(3)如图2，在四边形中，，与不平行．请问：四边形是“可旋四边形”吗？若是，请利用尺规作图找出旋转点，并证明；若不是，也请说明理由．

【推荐2】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C.

(1)求点A，B和C的坐标；
(2)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动.连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间.

【推荐3】在中，，，点D在射线上（点D不与点A，C重合），过点D作于点E，过点D作于点D，且，连接，，．

(1)如图1，点D在线段的延长线上．
①求证：；
②请判断线段，，之间的等量关系，并说明理由；
(2)若，请直接写出的值．

【推荐2】如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，直线与射线交于点．

（1）求证：为切线；
（2）若，，求直径的长．