【推荐1】如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴负半轴交于，与y轴正半轴交于且．

   

(1)求的面积．
(2)如图2，若P为直线上一动点 ，连接，且，求P点横坐标的值．

【推荐2】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：

(1)的面积为_______________；
(2)画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的；
(3)指出的顶点坐标：（，），（，），（，）；
(4)在轴上画出点，使最小．

【推荐3】如图是由边长为1的小正方形组成的方格图．

(1)请在方格图中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为；
(2)点的坐标为，在图中找到点，顺次连接点，并作出关于轴对称的图形；
(3)设点在坐标轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标．

【推荐1】如图，在菱形中，对角线和交于O．过B做垂直于H，并延长至M，使得，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)设，求的大小；
(3)用等式表示线段和之间的数量关系，并证明．

【推荐2】已知：如图，，、分别是、的对应边上的高. 求证：.
   

【推荐3】请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…

(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．

【推荐1】如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．

(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】（2019•房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，，点在射线上，点在内部，用直尺和圆规作点，使点同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
．点到，两点的距离相等；
．点到的两边的距离相等．
小明的作法是：
①连接，作线段的垂直平分线交于，交于；
②作的平分线交于点．
所以点即为所求．
根据小明的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；
（2）证明：垂直平分线段，点在直线上，
　　．
平分，
点到的两边的距离相等　　          （填推理的依据）．所以点即为所求．

【推荐3】如图1，中，，点D在BC边上，点E在AD上，，．
（1）求证；
（2）作，垂足为F（如图2），探究线段CD，DE，EF的数量关系并证明．

【推荐1】如图所示，在不等边中，，，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．

（1）若BC边长为整数，则的周长为_________．
（2）①若，则的度数为_________．
②若，则的度数为_________．
③若，请直接写出与之间的数量关系，并画出相应的图形．

【推荐2】如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
   
(1)求证：
(2)求证：
(3)若，，求的周长．

【推荐3】如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）