【推荐1】如图1，在中，，，点在边上从向运动．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．

(1)求证：．
(2)当时（如图2），求和的长．
(3)设点在边上从向运动的过程中，直接写出点运动的路径长．

【推荐2】正方形中，，分别为，上一点，，，交于点，为的中点．

(1)求证：≌；
(2)求证：；
(3)求证：

【推荐3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．

【推荐1】如图，在⊿ABC中，∠CBA=90º，∠CAB=50º，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E在边BC上，连结DE，且∠DEB=80º
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）求证：DE=BE

【推荐2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．
①求⊙O的半径；
②求sin∠BOC的值．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，点C是⊙O上一点，AG交CD于点K，延长KD至点E，使KE＝GE，分别延长EG、AB相交于点F．

(1)求证：EF是⊙O的切线．
(2)若，求证：KG²＝KD•GE．
(3)在（2）的条件下，若sinE＝，AK＝2，求FG的长．

【推荐1】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______．
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
(3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）

【推荐3】如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值并求此时点M的坐标；
（2）如图2，若a=1，,求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，，反比例函数的图象与边相交于点，与边相交于点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若点是的中点，．
①求的度数；
②将绕点逆时针旋转，点的对应点为，直接写出的坐标，并判断点是否在此反比例函数的图象上．

【推荐2】在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图1，点E落在BA的延长线上时，∠EDC=________（度）直接填空．
（2）如图2，点D在运动过程中，DE⊥AC时，AB=4，求DE的值．
（3）如图3，点F为线段DE中点，AB=，求出动点D从B运动到C，点F经过的路径长度．

【推荐3】如图，已知点P为外一点，点A为上一点，直线与的另一个交点为点B，是的直径，的平分线交于点D，连接并延长交直线于点M，连接．

(1)求证：；
(2)若，的直径为4，求的长度．