1 . （1）化简：；
（2）如图，，，．求证：．

2 . 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．

例如：因为，所以．

(1)根据上述规定，填空：______，______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明：

设，则，即，所以，即，

所以试解决下列问题：

①计算

②若，，，请探索，，之间的数量关系

4 . 规定两数，之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．
例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，
则，即．
(1)根据上述规定，填空：_________；_________；_________．
(2)计算___________，并说明理由．
(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数都成立．

5 . 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①     ，       ；
②若，则     ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，
所以．试解决下列问题：
①计算；
②若，，，请探索，，之间的数量关系．

6 . 规定两数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：________，________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，
所以，即，
所以．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：；
②猜想：________※________（结果化成最简形式）．

7 . 规定两数a，b之间的一种运算，记作（a， b）：如果那么（a，b）=c．
例如：因为所以（2，8）=3
(1)根据上述规定，填空：（3，9）=_______， （4，1）=_______，=_______．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，=（3，4），小明给出了如下的证明：
设，=x，则=，即=，所以，即（3， 4）=x，
所以，=（3，4）．
请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）．

8 . 规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：=      ；=        ，      ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：．
（3）证明下面这个等式：．

9 . 如果a^c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为2³＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　　，（4，16）＝　　，（2，16）＝　　．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．

10 . 推理是数学的基本思维方式，请在下列括号内填写相应步骤推理的依据．
如图，已知，证明：

证明：
                         （                       ）
            +            （                       ）
又，

（                       ）
下面是“幂的乘方的法则“的推导过程．
（                       ）
（                       ）