1 . 【认识定义】已知点、、分别在的边、、上（点不与点重合，点不与点重合，点不与点重合），点为内一点，若，则称点为的等角点．
【初步探究】
（1）如图1，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，点是等边的等角点，则的度数为                ；
（2）如图2，在中，，，点是内一点，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，若，且，试说明：点是的等角点；
【拓展研究】
（3）如图3，等边的边长为，点是的等角点，且的正切值为，求的长（结果用含和的式子表示）；
（4）如图4，在中，，，点是的等角点，且，当的长最短时，连接，求的面积．

3 . 【概念回顾】我们知道圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成的平面图形．由此可知，如图，若，则点A、B、C均在以O为圆心，OA为半径的圆上．

【知识运用】
如图，在中，将绕顶点逆时针旋转，得到，连结、．
(1)若，求的大小．
(2)若，当时，四边形面积的最大值为______．
(3)【拓展应用】如图，将边长为的等边绕顶点逆时针旋转，得到，点为中点．过点作，交于点，当时，则长的取值范围是______．