1 . “启智”数学兴趣小组对图形的旋转展开进一步探究，总结了一些方法和规律，请你完成相关问题．（画图工具不限，不写画法）
   
(1)动中有定：
如图1，是边长为的等边三角形．
①将点绕点顺时针旋转一周，点的对应点为点，请在图1中画出点的运动路径，当点不与A、B重合时，可得__________或__________；
②将边绕点顺时针旋转一周，请在图1中画出线段扫过的区域（用阴影表示，画出必要的辅助线），并求出该区域的面积．
(2)以静制动：
如图2，中，，，将绕点旋转得，点P是线段上一个动点，点M是的中点．
①线段的最小值是__________，最大值是__________；
②点P到直线的距离为h，当时，求h的取值范围．

2 . 问题提出
（1）如图①，的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，则圆上一动点P到直线l的距离的最大值为______，最小值为______．
问题探究
（2）如图②，已知，若，求的长．
问题解决
（3）如图③，在四边形中，，E为的中点，且．在四边形内部存在一点P使得，连接，将绕点B逆时针旋转至，连接，问是否存在F使得的面积最大？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转（0°＜＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF．
(1)当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；
(2)当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；
(3)请直接写出△ADE的周长的最大值．

7 . 如图，矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．

(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值．

9 . 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．
下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．
缺失（1）
在与中，
，
∴．
∴，
，，
又，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．

10 . 在中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，若，，．求的长．
(2)如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，延长交于点F，点G是的中点，连接．若，求证：．
(3)如图3所示，若，E是上一点，且，延长到F使得，G是上一点，且，M是平面内任意一点，将沿着翻折，将点G翻折到处，求长度的最大值．