1 . “数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．
例：求
的最小值．
解题思路：如图，作线段
，分别构造直角边为1，x和
，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在
中，由勾股定理，得
，即
，所以求得的最小值为5．
（1）类比上面解题思路，完成下面的填空：
①求
的最小值为______；
②求
（a，b，c为正数，
）的最小值为______．
【解决问题】
（2）如图，在矩形
花园中，
米，
米，计划要铺设
两条小路，点E在
上．要使
最小，设
米．
②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来．
例：求
的最小值．解题思路：如图，作线段
，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．
（1）类比上面解题思路，完成下面的填空：
①求
的最小值为______；②求
（a，b，c为正数，）的最小值为______．【解决问题】
（2）如图，在矩形
花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．
②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来．
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2024-05-25更新
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105次组卷
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4卷引用： 2024年山东省潍坊安丘市中考一模数学试题
名校
2 . 在平面直角坐标系
中，对于线段AB与直线
，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为
(
，
分别为点A，B的对应点)，则称线段为线段AB的“
关联线段”．
已知点
，
．
(1)线段为线段AB的“
关联线段”，点的坐标为
，则的长为______，b的值为______；
(2)线段为线段AB的“
关联线段”，直线
经过点
，若点，都在直线上，连接
，求
的度数；
(3)点
，
，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
中，对于线段AB与直线，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为(，分别为点A，B的对应点)，则称线段为线段AB的“关联线段”．已知点
，．(1)线段
为线段AB的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，b的值为______；(2)线段
为线段AB的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；(3)点
，，线段为线段AB的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
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2022-05-30更新
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731次组卷
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5卷引用：北京市第十三中学分校2023~2024学年九年级下学期月考数学试题
北京市第十三中学分校2023~2024学年九年级下学期月考数学试题2024年北京市第一零一中学温泉校区中考零模数学试题2022年北京西城区九年级二模考试数学试卷（已下线）2022年北京市中考数学变式题17-22（已下线）2022年北京市中考数学真题变式汇编3
22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末
3 . 如图，已知
，
，
，且
的解集是
．
(2)若
，点P从点B以每秒1个单位的速度沿折线
移动，当运动到点C时停止运动，求线段
的长度s与运动时间t秒的关系式；（不用写出t的取值范围）
(3)在（2）的条件下，若
，当t为何值时，三角形
的面积为三角形
面积的
．
，，，且的解集是．
(2)若
，点P从点B以每秒1个单位的速度沿折线移动，当运动到点C时停止运动，求线段的长度s与运动时间t秒的关系式；（不用写出t的取值范围）(3)在（2）的条件下，若
，当t为何值时，三角形的面积为三角形面积的．
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2024九年级下·山西·专题练习
4 . 阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务：
材料一
“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？
如图②，作点B关于直线
的对称点，连接
与直线交于点P，连接
，则
的和最小．
理由：如图③，在直线上另取任一点
，连接
，
，
，
∵直线是点B，的对称轴，点P，在上，
∴
______，
______，（依据1______）
∴
______．
在
中，∵
，（依据2______），
∴
，即
最小．
材料二
说明代数式
的几何意义，并求它的最小值．
解：
几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点
是x轴上一点，则
可以看成点P与点
的距离，
可以苔成点P与点
的距离，所求代数式的值可以看成线段
与长度之和，它的最小值就是
的最小值．
______，______，
依据1____________________________________
依据2______________________________________
任务二
利用图④中求出的最小值
任务三
求代数式
的最小值．
材料一
“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？
如图②，作点B关于直线
的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小．理由：如图③，在直线
上另取任一点，连接，，，∵直线
是点B，的对称轴，点P，在上，∴
______，______，（依据1______）∴
______．在
中，∵，（依据2______），∴
，即最小．材料二
说明代数式
的几何意义，并求它的最小值．解：
几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点
是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
______，______，依据1____________________________________
依据2______________________________________
任务二
利用图④中求出
的最小值任务三
求代数式
的最小值．
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