1 . （1）计算：；
（2）已知，计算的值并证明．

2 . （1）已知正数满足，求的最小值.
（2）已知正数满足，求的最小值.

3 . 已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，.
(1)求函数和；
(2)求函数在上的最小值.

4 . 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．
   
(1)将表示为的函数；
(2)当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．

5 . 深圳科学高中创办于2012年，是一所管理规范、校风优良、充满朝气与活力的优质学校．自办学以来形成了良好的社会效应.走出了一条科高特色的发展之路，建立了独特的科高“魔法”文化，已成为深圳优质教育的先进样本．为了给学生营造更加良好的学习环境，确保学生安全.学校决定实行人车分流，新开一个大门——东大门供车辆进出校园.因此，需要在学校东大门的门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米.底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙.无需建造费用.工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左，右两面墙的长度均为x米（），房屋的造价为y元．
(1)写出y关于x的表达式；
(2)当左、右两面墙的长度x为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价．

6 . 已知正数，满足.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值.

7 . 2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%．
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．

8 . 已知二次函数，．
(1)求方程的解集；
(2)若方程有两个正实数根，求的最小值．

9 . 已知正数满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.

10 . 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比．若在距离车站处建立仓库，则与分别为4万元和16万元．问当x为何值时，两项费用之和最小．（单位：）．