1 . 设集合
、
为正整数集
的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称集合为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“集”
；(2)若三元集
存在“集”
，且中恰含有4个元素，求证：
；(3)若
存在“集”，且
，求
的最大值.
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名校
解题方法
2 . 给定正整数
，设集合
．对于集合
中的任意元素
和
，记
．设
，且集合
，对于
中任意元素
，若
则称具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明．
，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合
是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明．
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2024-01-25更新
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251次组卷
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4卷引用：北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题
北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（已下线）专题04 分类讨论型【讲】【北京版】2北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
3 . 定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族
，它满足以下条件：（1）
和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族
，族
，判断族
与族
是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：
；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族
为集合上的一个拓扑.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.(1)族
，族，判断族与族是否为集合的拓扑；(2)设有限集
为全集（i）证明：
；（ii）族
为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
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名校
解题方法
4 . 设集合
，如果对于
的每一个含有
个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于
，称正整数
为集合的一个“相关数”.
(1)当
时，判断5和6是否为集合
的“相关数”，说明理由；
(2)若为集合的“相关数”，证明：
；
(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.
，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.(1)当
时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；(2)若
为集合的“相关数”，证明：；(3)给定正整数
，求集合的“相关数”m的最小值.
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2023-08-27更新
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522次组卷
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6卷引用：北京市西城区2017届高三二模数学理科试题
北京市西城区2017届高三二模数学理科试题北京市西城区2017届高三5月模拟测试（二模）数学理试卷北京市景山学校2022届高三上学期期中考试数学试题（已下线）专题01 集合及集合运算求参（2）（已下线）专题01 集合及集合运算求参(2)-【寒假分层作业】（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）
5 . 已知集合
，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素
，若
都不能整除
，则称集合A是S的“好子集”．
(1)分别判断数集
与
是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，
，都有
；
(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”．(1)分别判断数集
与是否是集合S的“好子集”，并说明理由；(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，
，都有；(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
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6 . 已知集合
.对集合中的任意元素
，定义
，当正整数时，定义
（约定
）.
(1)若
，
，求
和
；
(2)若满足
且
，求
的所有可能结果.
.对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.(1)若
，，求和；(2)若
满足且，求的所有可能结果.
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7 . 对于任意的
，记集合
，
，若集合A满足下列条件：①
；②
，且
，不存在
，使
，则称A具有性质Ω.如当
时，
，
，
，且，不存在，使，所以
具有性质Ω.
(1)写出集合
，
中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且
，使
.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且，使
，求n的最大值.
，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω.(1)写出集合
，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且
，使.(3)若存在A､B具有性质Ω，且
，使，求n的最大值.
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2022-04-09更新
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740次组卷
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5卷引用：北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高一3月质量检测数学试题
北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高一3月质量检测数学试题重庆市南开中学高2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题（已下线）1.3 交集、并集（2）（已下线）第02讲 集合的运算（7大考点13种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
解题方法
8 . 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______ 人.
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2021-11-05更新
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1713次组卷
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13卷引用：湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期10月调研考试数学试题
湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期10月调研考试数学试题（已下线）第十二章 统计与概率专练2—排列组合2-2022届高三数学一轮复习（已下线）考点01 集合及其应用(文理)安徽省滁州市第二中学2022-2023学年高一上学期11月检测数学试题四川省眉山北外附属东坡外国语学校2022-2023学年高一上学期9月月考数学试题（已下线）第02讲 集合的运算（7大考点13种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期第一次月考填空题压轴题50题专练-举一反三系列（已下线）第一章 集合与常用逻辑用语（压轴题专练）-速记·巧练（人教A版2019必修第一册）（已下线）第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）广东省四校（珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学、中山市实验中学）2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（A卷）（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语4-寒假作业单元合订本安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期10月份教学质量诊断测试数学试卷
名校
解题方法
9 . 设集合
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①
，且T中至少有两个元素；②对于任意
，当
，都有
；③对于任意
，若
，则
；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合
，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合
，且
，求证：对于任意
，有
；
（3）设集合
，且
，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.（1）若集合
，求集合的“耦合集”；（2）若集合
存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；（3）设集合
，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
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2021-01-27更新
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1305次组卷
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5卷引用：北京市顺义区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
10 . 对非空数集，
，定义
，记有限集的元素个数为
.
（1）若
，
，求
，
，
；
（2）若
，
，
，当最大时，求中最大元素的最小值；
（3）若
，
，求的最小值.
，，定义，记有限集的元素个数为.（1）若
，，求，，；（2）若
，，，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若
，，求的最小值.
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2020-11-02更新
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917次组卷
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6卷引用：北京市人大附中2021届高三年级10月数学月考试题
