1 . 已知集合，任取，，定义，其中表示，中的最大值，例如，.
(1)当且时，写出满足的所有元素；
(2)设，满足，求的最大值和最小值；
(3)若的子集满足：，成立，求集合中元素个数的最大值.

2 . 已知自然数集，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底.
(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①；
②.
(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：；
(3)若集合E为集合的一组m元基底，求m的最小值.

4 . 设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

5 . 设集合为非空数集，定义.
(1)若集合,直接写出集合及；
(2)若集合且，求证；
(3)若集合且，求中元素个数的最大值.

6 . 给定整数，如果非空集合满足：
一：，，
二：，，若，则，那么称集合为“减集”.
(1)是否为“减0集”？是否为“减1集”？
(2)是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明.
(3)是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明.

7 . 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．
(1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
(2)当时，若集合具有性质，
①判断集合是否一定具有性质？并说明理由；
②求集合中元素个数的最大值．

10 . 已知集合，表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集. 若对集合的任意个不同的二元子集，均存在对应的集合满足：①；②；③，则称集合具有性质.
(1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；
(2)当时，判断集合是否具有性质？并说明理由；
(3)当时，若集合具有性质，求的最小值.