2023高三·全国·专题练习
1 . 甲、乙进行某项比赛，设甲得、失1分的概率分别为
与
（
），且每得、失1分相互独立．比赛规则规定：甲比乙多得
分甲胜，乙比甲多得
分乙胜．求甲获胜的概率．
与（），且每得、失1分相互独立．比赛规则规定：甲比乙多得分甲胜，乙比甲多得分乙胜．求甲获胜的概率．
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2 . 已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2．证明：这时有a＜b及b+1=c．
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3 . 设整数
模2014互不同余，整数
模2014也互不同余.证明：可将重新排列为
，使得
模4028互不同余.
模2014互不同余，整数模2014也互不同余.证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余.
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4 . 证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列，它的项都是正整数的幂，幂指数是大于1的整数．
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5 . 设
证明：存在
使得同余方程
在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
证明：存在使得同余方程在模的意义下至少有个根．（请对比拉格朗日定理）．
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6 . 设是素数，模意义下的次整系数多项式
．求证：同余方程
在模的意义下至多有
个不同的解．
是素数，模意义下的次整系数多项式．求证：同余方程在模的意义下至多有个不同的解．
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7 . 设n，k是给定的整数，n>0，且k（n－1）是偶数．证明：存在
是
是
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8 . 证明：当
时，一元一次同余方程
必有解，且其解数为1．
时，一元一次同余方程必有解，且其解数为1．
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9 . 若
及
其中
称为
对模的逆或数论倒数．整系数多项式
求证：同余方程
与同余方程
等价．
及其中称为对模的逆或数论倒数．整系数多项式求证：同余方程与同余方程等价．
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的解数为
