2023高三·全国·专题练习
1 . 设素数
，证明
，证明
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2 . 设
是奇素数，证明：
是奇素数，证明：
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3 . 如果
是素数，证明：
至少有
个不同的素因数．
是素数，证明：至少有个不同的素因数．
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4 . 已知素数
证明：
为整数，其中
．
证明：为整数，其中．
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5 . 设
，证明
其中
为欧拉函数．
，证明其中为欧拉函数．
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6 . 偶数个人围着一张圆桌讨论，休息后，他们依不同次序重新围着圆桌坐下．求证：至少有两个人，他们之间的人数在休息前与休息后是相同的．
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7 . 两个数
与
的末三位数字完全相同，试求出正整数
，使得
取得最小值．
与的末三位数字完全相同，试求出正整数，使得取得最小值．
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8 . 求证：
为任意整数
．
为任意整数．
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9 . 
被
除的余数是______________ ．
被除的余数是
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个
的乘积，则其最后三位数是（
