2023高三·全国·专题练习
1 . 已知凸四边形ABCD，求平面上到这四个点的距离之和最短的点P的位置．
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2 . 如图，在锐角
的边
和
上各取一点
和
，四边形
的两条对角线相于点
．和
的垂心分别为
，
．证明：如果直线
经过
和
的外接圆的交点
，那么它必定经过
和
的外接圆的交点
．
的边和上各取一点和，四边形的两条对角线相于点．和的垂心分别为，．证明：如果直线经过和的外接圆的交点，那么它必定经过和的外接圆的交点．
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3 . 已知下底边为
（即
，且
）的题型内接于
．
是在直线上移动的点，且使得
不与相似．以为直径的圆交于点
，记与
交于点
，
是与的交点（
）．求证：直线
通过一定点．
（即，且）的题型内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相似．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点（）．求证：直线通过一定点．
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4 . 在
中，
，的内切圆
与，
，
的切点分别为
，
，
．记
与的不同于点的交点为，过点作的垂线交
于点，，
分别是
与直线，
的交点．求证：
是线段
的中点．
中，，的内切圆与，，的切点分别为，，．记与的不同于点的交点为，过点作的垂线交于点，，分别是与直线，的交点．求证：是线段的中点．
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5 . 一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不为0，我们把它的百位数字作为十位，十位数字作为个位组成一个新的两位数，若这个两位数大于的千位数字与个位数字的和，就把这个数称为“心愿数”；若这个两位数还能被的千位数字与个位数字的和整除，就称这个数为“愿归数”例如，
，且
为“愿归数”.现有一个四位自然数
，其中
，
都是整数，且
.若为“愿归数”，其中
，记
.若
能被7整除，则符合条件的自然数的最大值为_________________ .
，它的各个数位上的数字均不为0，我们把它的百位数字作为十位，十位数字作为个位组成一个新的两位数，若这个两位数大于的千位数字与个位数字的和，就把这个数称为“心愿数”；若这个两位数还能被的千位数字与个位数字的和整除，就称这个数为“愿归数”例如，，且为“愿归数”.现有一个四位自然数，其中，都是整数，且.若为“愿归数”，其中，记.若能被7整除，则符合条件的自然数的最大值为
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6 . 甲、乙进行某项比赛，设甲得失1分的概率分别为
与
（
），且每得失1分相互独立．比赛规则规定：谁先得
分谁获胜，但是，如果出现
平，则这以后谁比对方多得
分谁获胜．求甲获胜的概率．
与（），且每得失1分相互独立．比赛规则规定：谁先得分谁获胜，但是，如果出现平，则这以后谁比对方多得分谁获胜．求甲获胜的概率．
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7 . 甲、乙进行某项比赛，设甲得、失1分的概率分别为与（），且每得、失1分相互独立．比赛规则规定：甲比乙多得分甲胜，乙比甲多得分乙胜．求甲获胜的概率．
与（），且每得、失1分相互独立．比赛规则规定：甲比乙多得分甲胜，乙比甲多得分乙胜．求甲获胜的概率．
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8 . 已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2．证明：这时有a＜b及b+1=c．
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9 . 设整数
模2014互不同余，整数
模2014也互不同余.证明：可将重新排列为
，使得
模4028互不同余.
模2014互不同余，整数模2014也互不同余.证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余.
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