1 . 如图，
内接于
，
是的内心，过
作
的垂线交于点
，交
于点
，
是
的中点，连接
，过
作
于点
.证明：
(1)
；
(2)、、、四点共圆.
内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明：(1)
；(2)
、、、四点共圆.
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解题方法
2 . 有2024个半径均为1的球密布在正四面体
内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为________ .
内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为
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3 . 求最大的实数
，使得对任意的正整数
和个实数
，
，
，
，均有
.
，使得对任意的正整数和个实数，，，，均有.
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2023-12-15更新
|
119次组卷
|
2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
4 . 对任意满足
的非负实数组
，记为
的元素个数，求证：
，并给出取等的充要条件.
的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.
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2023-12-15更新
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156次组卷
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2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
名校
5 . 已知点
是椭圆
外一点，过点M作椭圆两条切线，且两条切线恰好互相垂直，
，
，则
的取值范围为____________ .
是椭圆外一点，过点M作椭圆两条切线，且两条切线恰好互相垂直，，，则的取值范围为
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2023-11-17更新
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340次组卷
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2卷引用：河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中数学试题
6 . 已知
，（
，
，
），且
，则
___________ ，
___________ .
，（，，），且，则
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名校
7 . 若
，则称
是关于x，y的方程
的整数解．关于该方程，下列判断错误 的是（ ）
，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断A． ，方程有无限组整数解 |
| B．，方程有且只有两组整数解 |
C． ，方程至少有一组整数解 |
D． ，方程至多有有限组整数解 |
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8 . 三个复数的模分别为
，且这三个复数实部虚部均为整数，则这三个复数的积有多少个可能值？
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9 . 函数
在
上有定义，若对任意，
，有
，则称在上具有性质P.设在
上具有性质P，现给出如下命题：
①在上的图像是连续不断的；
②
在
上具有性质P；
③若在
处取得最大值1，则
；
④对任意的，，
，
，有
.
其中真命题的序号是（ ）
在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质P.设在上具有性质P，现给出如下命题：①
在上的图像是连续不断的；②
在上具有性质P；③若
在处取得最大值1，则；④对任意的
，，，，有.其中真命题的序号是（ ）
| A．①② | B．①③ | C．②④ | D．③④ |
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10 . 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”
，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为
.若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且
能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的最大值与最小值的差为______ .
，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为.若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的最大值与最小值的差为
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