1 . 设n是正整数，我们说集合的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.

2 . 平面上有一个阶完全图，对其边进行三染色，且每种颜色至少染一条边.现假设在完全图中至多选出k条边，且把这k条边的颜色全部变为给定三色中的某种颜色后，此图同时也可以被该种颜色的边连通.若无论初始如何染色，都可以达到目的，求k的最小值.

3 . 已知非空正实数有限集合A，定义集合，证明：．

4 . 设为正数，为的所有子集的任一个排列．求的最大值，其中．

5 . 设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．

6 . 对两个不全等的矩形A、B，称，若A的长不小于B的长，且A的宽也不小于B的宽.现在若对任意的n个两两不全等的，长和宽均为不超过2020的正整数的矩形，都必存在其中3个矩形A、B、C，使得，求n的最小值.

7 . 已知是一个有限集.是满足如下性质的两个分划：若，则.求的最小值.

8 . 设集合是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域，若一组直线对于点集满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：
（1）这些直线不经过该点集中的任何一个点；
（2）每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.
求的最小值，使得对于任意的点集，均存在由条直线构成的“好直线组”.

9 . 设函数满足对于每个，均存在一个，使得，其中，是f复合m次．设是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列无界．

10 . 求最大的，使对于给定n，任意一个实数列，总存在一个子列满足：
（a）中有1项或2项属于T；
（b）．