1 . 给定一个正99边形,将1,2,
,99放入99边形的99个顶点处,若两种放置方法在旋转之后可以重合,则称这两种方法是同一个.称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作,求最小的
使得至多
次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法.
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2023-12-15更新
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147次组卷
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2卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
名校
2 . 我们称
为“花式集合”,如果它满足如下三个条件:
(a)
;
(b)
的每个元素都是包含于
中的闭区间(元素可重复);
(c)对于任意实数
中包含
的元素个数不超过1011.
对于“花式集合”
和区间
,用
表示使得
的对
的数量.求
的最大值.
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(a)
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(b)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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(c)对于任意实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fb7bfa1a59b3451a4379f7cbc074ef60.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
对于“花式集合”
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4fc1c4dd7cb41e3342eb79054ef1a67.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0e6ceed58d644f9027ea60bd0f1f557.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aeb55594a33f7ac1d8d93dc5b13cb82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd1ac9030ad24307666928b511a0f45e.png)
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3 . 给定正整数m、k,有n个选手
参加一次测试,该测试由m个项目构成,每个项目完成后都会取得一个评分,没有两个人在一个项目取得相同的评分.求n的最小值,使得总存在k个选手
,在第j个项目中的k个得分要么单调递增,要么单调递减,
.
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4 . 给定正整数
.求最大的实数
.使得
对任意正实数
恒成立,其中
.
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5 . 某个会议有若干人(至少3人)参加,现要将这些人分组.分组前,每个人都选择两个人.若被选择的两个人同组.则选择他们的人不能在这组中.求最小的正整数
,使无论有多少人参加,且无论每人如何选择,都可以将他们按要求分成
组.
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6 . 设
和
为两组复数,满足:
.求证:存在数组
(其中
),使得
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38af3182c396bef07007d4b04c92d32c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f094ba98f6c02216c714bd9ff85bd59f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/057d57358dd4fd992df26157efa5bd9f.png)
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7 . 设
是整数.对每个正整数
,令
为
在
进制表示下的非零数字的个数.证明:对于任意给定的正整数
和
,存在正整数
使得
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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8 . 给定整数
.求具有下列性质的最大常数
,若实数列
满足:
,则
.
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9 . 设n为不小于3的正整数,在正n边形中,选取一些对角线,满足其中的任两条对角线若在多边形内部相交则一定垂直.问:最多可选取多少条对角线?
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