1 . 已知数列满足，．
(1)若是递增数列，求实数的取值范围；
(2)若，且对任意大于的正整数，恒有，求的最小值．

2 . 若正整数的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.
（1）求的生成数列的项数；
（2）求由的生成数列，，，的前项的和(用､表示)；
（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.

3 . （1）证明：（且）；
（2）证明：对一切正整数和一切实数，，，，有．

4 . 对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_______.

5 . 设，以表示正整数b，c的最小公倍数．求证：．

6 . 求最小的正整数,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.

7 . 已知数列满足， .证明：

8 . 若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：
（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.

9 . 给定正整数，非负整数满足对均有，其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值.

10 . 在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如，其中，是某个正整数）．