解题方法
1 . 设
，函数
，
的定义域都为
.
(1)求
和
的值域；
(2)用
表示
中的最大者，证明：
；
(3)记
的最大值为
，求的最小值.
，函数，的定义域都为.(1)求
和的值域；(2)用
表示中的最大者，证明：；(3)记
的最大值为，求的最小值.
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2 . 对于区间
与函数
，定义区间Ⅰ的长度为
．已知二次函数
对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有
，求证：对于任何长度为2的区间J，均有
．
与函数，定义区间Ⅰ的长度为．已知二次函数对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有，求证：对于任何长度为2的区间J，均有．
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3 . 设
为椭圆
： 
的左准线与对称轴的交点，椭圆的左焦点为
，过任作一斜率不为0的直线与椭圆交于点
、
，关于
轴的对称点为
.
（1）求证：
；
（2）求
的取值范围.
为椭圆： 的左准线与对称轴的交点，椭圆的左焦点为，过任作一斜率不为0的直线与椭圆交于点、，关于轴的对称点为.（1）求证：
；（2）求
的取值范围.
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4 . 设双曲线
的两支为
(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P(-1，-1)在
上，Q、R在
上．求顶点Q、R的坐标．
的两支为(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P(-1，-1)在
上，Q、R在上．求顶点Q、R的坐标．
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5 . 设
四点均在双曲线
的右支上.
（1）若
（实数
），证明：
（O是坐标原点）；
（2）若
，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形
的面积的最大值.
四点均在双曲线的右支上.（1）若
（实数），证明：（O是坐标原点）；（2）若
，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形的面积的最大值.
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2007高三·陕西·竞赛
6 . 已知
.求证：
（1）
；
（2）
.
.求证：（1）
；（2）
.
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7 . 给定正整数
，且
，
，
，
，证明：
.
，且，， ，，证明：.
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2011高三·天津·竞赛
8 . 设
、
、
、
、
、
为实数，且
对任意的实数 成立.证明：
、、、、、为实数，且 对任意的实数 成立.证明：
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2002高三·湖南·竞赛
名校
9 . 设关于 x 的一元二次方程 
的两个根为 α、β（α < β）.
（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：
；
（2）设
，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为
和
， 
.求
的最小值.
的两个根为 α、β（α < β）.（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：
；（2）设
，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.
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2018-12-15更新
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375次组卷
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5卷引用：2002年湖南省高中数学奥林匹克
2013高三·湖南·竞赛
10 . 已知函数
，且对任意的
均有
.
（1）求
的取值范围；
（2）若
，证明：
.
，且对任意的均有.（1）求
的取值范围；（2）若
，证明：.
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